复变函数
2003-8
科学出版社
杨纶标,郝志峰
180
在高等数学中研究了实变量函数，本书将研究复变量函数。其实，复变量函数是实变量函数的推广。 复变函数在数学中已形成一个重要分支，正因为复变函数中的许多概念（复变函数的定义、极限、连续、导数、积分等）、理论是实变函数在复数领域内的推广和发展，因此它们之间有很多相似之处，然而也有很多不同之点。我们在整个教与学的过程中，既要注意它们的共同之处，又要注意它们的相异之点。 复变函数与数学中其他分支一样，也是由于客观实际的需要产生和发展起来的。 回顾历史，瑞士数学家欧拉在前人确信负数开方能施行的基础上于1737年第一次提出用i表示－1的平方根。因为这种数不是直接产生于计算或测量，所以相对于实数，人们很自然地称它为虚数。这样，数的概念在实数的基础上进一步得到发展，产生了复数与复变量。为了进一步研究复变量之间的依赖关系，德国数学家高斯于1811年正式引入了复变函数的概念。法国数学家柯西给出了柯西－黎曼方程，于1814年建立起复变函数的积分理论，提供了计算留数公式。复变函数的级数理论是德国数学家魏尔斯特拉斯在19世纪初建立的，德国数学家黎曼在19世纪对复变函数的几何理论作出了很大贡献。 由于生产实际问题的需要，复变函数理论从19世纪以来得到了蓬勃的发展，它不仅与其他学科（如理论物理，自动控制等）有着密切的联系，而且与数学中其他分支有着密切的联系，我国数学家陈景润（1933～1996）在研究“哥德巴赫猜想”问题中就广泛应用了复变函数的理论。正因为复变函数有如此广泛的联系与应用，所以学好这门课就显得很有必要。 我校开设复变函数课程，开始是在无线电系，后来随着科学技术的发展和教学改革的深入，开设这门课程的院系和专业越来越多，除无线电系外，还有计算机、自动化、电力、机电、化机等学院及交通学院的有关专业。为了适应进一步发展的需要，编写了本教材，同时也把我们多年的教学所得，奉献给读者。
《21世纪高等院校教材：复变函数》介绍了复变函数的基本概念、基本理论和方法，包括复变函数的概念、极限和连续、微分、积分、级数、留数和共形映射等。《21世纪高等院校教材：复变函数》在内容的安排上，深入浅出，叙述简明，列举了大量的例题来说明复变函数相关的定义和定理，每章还用小结的形式对该章主要内容做了归纳，每章末还配备了适量的习题，便于读者系统复习。 《21世纪高等院校教材：复变函数》可作为大学工科诸专业学生的教学用书，也可供相关专业的教师和科技工作者参考。
第一章 复数与复变函数1.1 复数及其表示式1.2 复数的运算及其几何意义1.3 平面点集与区域1.4 复变函数1.5 复变函数的极限与连续性小结习题第二章 解析函数2.1 解析函数的概念2.2 解析函数的充要条件2.3 初等函数小结习题第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念3.2 柯西定理3.3 复合闭路定理3.4 原函数与不定积分3.5 柯西积分公式3.6 *解析函数的最大模原理3.7 解析函数的高阶导数3.8 解析函数与调和函数的关系小结习题第四章 级数4.1 复数项级数4.2 幂级数4.3 泰勒级数4.4 洛朗级数小结习题第五章 留数5.1 孤立奇点5.2 留数5.3 留数在定积分计算上的应用小结习题第六章 共形映射6.1 共形映射的概念6.2 分式线性映射6.3 几个初等函数所构成的映射6.4 共形映射中研究的两个问题小结习题习题答案与提示
