常微分方程及其应用
2010-2
科学出版社
周义仓，靳祯，秦军林 编
309
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常微分方程是数学类专业的一门应用性较强的基础课，一般在二年级开设，64学时左右，常微分方程课程对训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力有着极为重要的作用。 目前国内常微分方程的教材基本上与60、70年代的体系和内容相比没有太大的变化，主要是通过解的存在唯一性、线性方程解的基本理论、渐近性态分析等内容训练学生数学的抽象思维能力，通过叙述求解各种类型方程的解析解让学生学会求解一些微分方程的基本方法。相比而言，国外近年来出版的常微分方程教材与60、70年代的相比有很大的变化，主要体现在两个方面：①通过大量的实际问题突出数学的应用，引导学生建立常微分方程模型解决各种实际问题；②大量的使用计算机，用Maple、Matlab、Mathematica等数学软件进行图示、求解析解、进行数值计算、进行推理以提高课堂教学的效果。 在多年从事常微分方程课程教学的过程中，我们对我国的教育体制、教学方式、教材的优缺点、学生的特点有了较深人的了解，也收集到了一批国外的优秀教材，在教学中积累了丰富的素材，其中大部分已经整理成讲稿，包括一些十分精彩的应用实例和计算机程序。这些讲稿通过复印或磁盘文件拷贝给学生后收到了很好的效果。在这些经验和素材的基础上，我们编写了这本教材。《常微分方程及其应用》是常微分方程理论、方法与应用有机结合的一本教材。它保持我国现行教材中理论性强、方法多样、技巧和实例丰富等特点，再结合国外教材中强调建模、应用和计算机等特点，理论、方法、建模、应用、计算机互相渗透与补充。不仅使学生受到严格的数学思维方式的训练，而且使学生体会到数学在解决实际问题中的巨大作用，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程。既使学生学会求解各类微分方程解析解、数值解的方法，又让他们掌握用计算机分析求解的思想与过程。本教材的目标是让学生学会①求解各类微分方程的方法；②常微分方程的基本理论；③常微分方程定性稳定性方法初步，从微分方程提取尽可能多的信息；④近似方法、数值方法及其计算机实现；⑤建立微分方程模型解决实际问题；⑥在应用问题中使用各种数学软件包。
《常微分方程及其应用（第2版）》是常微分方程理论、方法与应用有机结合的一本教材，保持了我国现行教材理论性强、方法多样、技巧和实例丰富等特点。并结合国外教材强调建模、应用和计算机等特点，形成理论、方法、建模、应用、计算机互相渗透与补充的新体系。不仅能够训练学生严密的数学思维方式，而且可以引导学生通过建立数学模型解决实际问题。既讲述求解各类微分方程解析解、数值解的方法，又介绍用计算机进行理论分析、求解方程和给出图形显示的过程。《常微分方程及其应用（第2版）》的主要内容包括求解各类微分方程的方法，常微分方程的基本理论、近似方法及其实现，以及建立微分方程模型解决实际问题。 《常微分方程及其应用（第2版）》可作为数学与应用数学、信息与计算科学专业的常微分方程课程教材，也可作为理工科学生数学建模、数学实验等课程的参考书。
第二版前言第一版前言第1章 引论1.1 微分方程的概念和实例1.1.1 导出微分方程的一些实际例子1.1.2 微分方程的概念1.1.3 微分方程的发展习题1.11.2 解的存在唯一性1.2.1 例子和思路1.2.2 存在唯一性定理及其证明1.2.3 存在唯一性定理的说明及例子习题1.21.3 一阶微分方程的向量场1.3.1 向量场1.3.2 积分曲线的图解法习题1.3复习题1第2章 一阶微分方程2.1 线性方程2.1.1 线性齐次方程2.1.2 线性非齐次方程2.1.3 Bemoulli方程2.1.4 线性微分方程的应用举例习题2.12.2 变量可分离的方程2.2.1 变量可分离方程的求解2.2.2 齐次方程2.2.3 变量可分离方程的应用习题2.22.3 全微分方程2.3.1 全微分方程的定义与充要条件2.3.2 全微分方程的积分2.3.3 积分因子习题2.32.4 变量替换法2.4.1 形如dy/dx=f（ax+by+c）的方程2.4.2 形如yf（xy）dx+xg（xy）dy=0的方程2.4.3 其他变换举例2.4.4 Riccati方程习题2.42.5 一阶隐式微分方程2.5.1 可解出y或x的方程与微分法2.5.2 不显含x或y的方程与参数法2.5.3 奇解与包络习题2.52.6 近似解法2.6.1 逐次迭代法2.6.2 Taylor级数法2.6.3 Euler折线法习题2.62.7 一阶微分方程的应用2.7.1 曲线族的等角轨线2.7.2 放射性废物的处理问题2.7.3 我国人口的发展预测习题2.7复习题2第3章 二阶及高阶微分方程3.1 可降阶的高阶方程3.1.1 不显含未知函数z的方程3.1.2 不显含自变量￡的方程3.1.3 全微分方程和积分因子3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例习题3.13.2 线性微分方程的基本理论3.2.1 线性微分方程的有关概念3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构3.2.3 非齐次线性方程解的结构习题3.23.3 线性齐次常系数方程3.3.1 复值函数3.3.2 常系数齐次线性方程3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法习题3.33.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法3.4.1 非齐次项为多项式的情形3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形习题3.43.5 高阶微分方程的应用3.5.1 机械振动3.5.2 RLC电路习题3.5复习题3第4章 微分方程组4.1 微分方程组的概念4.1.1 微分方程组的实例及有关概念4.1.2 函数向量和函数矩阵4.1.3 微分方程组解的存在唯一性定理习题4.14.2 微分方程组的消元法和首次积分法4.2.1 微分方程组的消元法4.2.2 微分算子与线性微分方程组4.2.3 微分方程组的首次积分法习题4.24.3 线性微分方程组的基本理论4.3.1 线性齐次方程组解的结构4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构习题4.34.4 常系数齐次线性微分方程组4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解4.4.3 矩阵指数函数的定义和性质习题4.44.5 常系数非齐次线性微分方程组4.5.1 常数变易法4.5.2 线性变换法4.5.3 待定系数法习题4.54.6 微分方程组应用举例4.6.1 两个弹簧和物体的竖直运动4.6.2 复杂电路的计算4.6.3 人造卫星的轨道方程习题4.6复习题4第5章 非线性微分方程组5.1 非线性方程研究的例子与概念5.1.1 例子5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统5.1.3 基本定义习题5.15.2 自治微分方程组解的性质5.2.1 自治系统轨线的特点5.2.2 自治系统解的基本性质习题5.25.3 平面线性系统的奇点及相图……第6章 Maple简介与应用参考文献
第1章 引论 常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用。本章介绍常微分方程的一般概念、导出微分方程的一些典型例子、常微分方程解的存在唯一性、向量场等内容，为求解微分方程和进行理论分析做准备。 1.1 微分方程的概念和实例 弄清一个问题中变量之间的函数关系或其变化趋势对问题的解决往往有着至关重要的作用，但在一些较复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到。这时就需要在一些理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系，也就是先找出一个含有未知函数及其导数所满足的方程（称为微分方程），然后通过求解这个方程得到变量间的函数关系，或者在微分方程的基础上进行数值计算和渐近性态研究，从而了解一个系统的发展变化规律。本节先给出一些导出微分方程的例子，再给出微分方程中所涉及的一些定义。 1.1.1 导出微分方程的一些实际例子 为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设，建立起数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，该模型就是一个微分方程。下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程。 例1.1.1镭的衰变规律设镭的衰变速率与该时刻现有的量成正比，并且已知t=0时，镭元素的量为R0g，试确定在任意时刻t镭元素的量。
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