混沌、Melnikov方法及新发展

2012-6  

科学出版社  

李继彬陈凤娟  

324  

429000  

无  

物理、化学、力学和生物学中物质运动的数学模型往往用微分方程所定义的连续动力系统来模拟，这些动力学模型存在着复杂的动力学行为——混沌性质。本书介绍精确地判定Smale马蹄存在意义下具有混沌性质的Mel′nikov方法，并介绍近年来学者们所发展的同宿和异宿到耗散鞍型周期轨道的同宿和异宿缠结理论。
本书主要面向从事动力系统应用的读者，亦可作为研究生和对常微分方程与动力系统感兴趣的人员的入门读物。

《现代数学基础丛书》序前言第1章 动力系统的基本概念1.1 流和离散动力系统1.2 基本定义和性质1.3 拓扑共轭、结构稳定性与分枝第2章 符号动力系统、有限型子移位和混沌概念2.1 符号动力系统2.2 有限型子移位2.3 Li-Yorke定理和Sarkovskii序2.4 混沌概念的推广第3章 二阶周期微分系统与二维映射3.1 二阶周期微分系统的谐波解3.2 脉冲激励系统的Poincaré映射3.3 Poincaré映射的线性近似与周期解的稳定性3.4 二维线性映射3.5 二维映射的Hopf分枝与Arnold舌头第4章 Smale马蹄与横截同宿环4.1 Smale的马蹄映射4.2 Moser定理及其推广4.3 二维微分同胚的双曲不变集、跟踪引理和Smale-Birkhoff定理4.4 Rm上的Cr微分同胚的不变集与双曲性4.5 分枝到无穷多个汇4.6 Hénon映射的Smale马蹄第5章 平面Hamilton系统和等变系统5.1 二维可积系统与作用-角度变量5.2 等变动力系统的定义和例子5.3 几类对称系统的周期轨道族与同宿轨道5.4 周期解族周期的单调性第6章 Mel′nikov方法: 扰动可积系统的混沌判据6.1 由更替法导出的Mel′nikov函数6.2 次谐波分枝的存在性及其与同宿分枝的关系6.3 次谐波解的稳定性6.4 周期扰动系统的Mel′nikov积分6.5 周期扰动系统的次谐波Mel′nikov函数6.6 慢变振子的周期轨道6.7 慢变振子的同宿轨道第7章 Mel′nikov方法:应用7.1 软弹簧Duffing系统的次谐与马蹄7.2 具有对称异宿环系统的次谐与马蹄7.3 Josephson结的I~V特性曲线7.4 环面上的Van der Pol方程的次谐分枝与马蹄7.5 生物系统的分枝与混沌性质7.6 两分量Bose-Einstein凝聚态系统的混沌与分枝7.7 大Rayleigh数Lorenz方程的周期解和同宿分枝7.8 两个自由度Hamilton系统的混沌性质附录 Jacobi椭圆函数有理式的Fourier级数第8章 秩一吸引子的概念和混沌动力学8.1 秩一吸引子的概念和混沌动力学理论8.2 在常微分方程中的应用第9章 耗散鞍点的同宿缠结动力学9.1 基本方程和返回映射9.2 动力学结果9.3 具体例子及数值结果9.4 映射R的具体推导附录 Mel′nikov函数(9.1.3)与Mel′nikov函数(6.4.21)的关系第10章 耗散鞍点的异宿缠结动力学10.1 基本方程和返回映射10.2 动力学结果10.3 具体例子及数值结果10.4 返回映射F的推导附录 Ee(t),Ee*(t)的极限参考文献《现代数学基础丛书》已出版书目

第1章 动力系统的基本概念本章简要介绍动力系统的某些基本概念1.1 流和离散动力系统“动力系统”这个名词，由Poincar′e研究多体问题――质点组动力学问题而产生.后来被发扬光大，沿用下来，在数学上具有确定的含义.。考虑定义在Euclid空间Rn上的微分方程组dx=f（x），（1.1.1）dt其初始条件为x（0）=x0.设f∈C1（Rn，Rn），x0∈Rn，则（1.1.1）的初值问题解x=φ（t，x0）局部存在唯一.再对f增加解整体存在唯一的条件，即对于一切的t∈R，x0∈Rn，设解x=φ（t，x0）整体存在唯一.由微分方程的一般理论可知，函数φ（t，x0）具有以下的性质：（1）确定性：对于一切s，t∈R，x∈Rn，有φ（0，x）=x；φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x））。（2）连续性：φ（t，x）关于变元t，x在R×Rn连续。满足这两个性质的映射φ:RRn构成以t为参数的从Rn到Rn的单参×Rn→数连续变换群.我们称φ为Rn中定义的动力系统或流。对于给定的x∈Rn，集合Orbφ（x）={φ（t，x）|t∈R}。Rn称为流φ过点x的轨道。Rn称为状态空间或相空间，每个点x∈Rn称为一个状态。如果抛开微分方程，设X是一个拓扑空间（Cr微分流形），一般地，考虑连续映射（Cr映射）φ:R×X→X，并设φ满足确定性条件：1.φ（s+t，x）=φ（s，φ（t，x）），对于一切s，t∈R，x∈X成立；2.φ（0，x）=x，对于一切x∈X成立.此时，称φ为定义在X上的一个拓扑动力系统（Cr动力系统），或者称X上的C0（Cr）流。（1）φs+t=φsφt，对于一切s，t∈R，x∈X成立；（2）φ0=id。由于对于任何固定的t∈R，φt有逆映射φ.t，因此，φt是一个同胚（Cr微分同胚）。在拓扑空间X上定义的上述流φ同样关于t构成单参数的变换群，参数的取值范围是实数加群R+。如果对流进行离散采样，研究它每隔一段时间间隔T的状态，我们得到一个两边有无穷多项的序列，φ.2T，φ.T，φ0=id，φT，φ2T，。这个序列由同胚f=φT所生成，即φkT=φTφTφT=fff=fk，（1.1.2）φ.kT=φ.Tφ.Tφ.T=f.1f.1f.1=f.k。（1.1.3）φT称为流φ的时刻T映射，又称Poincar′e映射.特别，φ1称为流φ的时刻1映射，流φt的时刻T映射可看作流ψT=φTt的时刻1映射。因此，只需考虑T=1情形。一般地，任给一个同胚（Cr微分同胚）f，f不一定是某个流的时刻1映射，同样能够生成一个双边序列，f.2，f.1，f0，f1，f2，，（1.1.4）其中，f0=id，fk=f，fk.1=f，f.・・・，f；f.k=（f.1）k，显然f满足关系：（1）fk+l=fk，fl，对于一切k，l∈Z成立；（2）f0=id。与流的情形类比，人们称这种由同胚（Cr微分同胚）生成的双边序列为离散动力系统.离散动力系统也是一个单参数变换群，其参数取值范围是整数加群（Z，+）。由于存在没有全局截面的流，因此，一般而言，不能说每个流通过取Poincar′e映射必对应一个微分同胚，但是，流经过采样离散化而得到一个低一维的离散动力系统.流的时刻1映射总是一个同胚。反之，采用“扭扩”（suspension）微分同胚f（见图1.1.1），可构造f作为某个流的Poincar′e映射。这里不再赘述。正因为流和离散动力系统有这样紧密的关系，才激励着离散动力系统理论的大发展.我们研究流所得到的结论，往往可用于微分同胚情形。反之，在一定的条件下，由微分同胚所获得的信息，可用于研究比微分同胚高一维的流。人们往往首先在微分同胚的研究中分方程研究的动力系统方法。图1.1.1离散动力系统的扭扩上面的讨论都是由同胚（Cr微分同胚）生成的系统，如果我们更一般地考虑连续映射（Cr映射）的迭代：f0=id，f1，f2，，fk，，k∈Z+，所得到的系统称为拓扑半动力系统（Cr微分半动力系统）。1.2基本定义和性质设X是拓扑空间（Cr流形），f:X→X是一个同胚（Cr微分同胚）。定义1.2.1集合Orbf（x）={fk（x）|k∈Z}，Orbf+（x）={fk（x）|k∈Z+}，Orbf。（x）={fk（x）k∈Z.}分别称为离散动力系统f过点x的轨道、正半轨道和负半轨道。显然，Orbf（x）=Orbf+（x）∪Orbf.（x）如不产生混淆，可简记Orbf（x）为Orb（x）。定义1.2.2若存在正整数n.1，使得fn（x）=x成立，称x为f的周期点；使得fn（x）=x成立的最小自然数n，称为x的周期。特别，周期为1的点，称为f的不动点。用记号Per（f）和Fix（f）分别表示f的周期点集合和不动点集合。显然，Fix（f）。Per（f）。定义1.2.3设x∈X，若存在正整数m>0，使得fm（x）是f的周期点，则称x为f的准周期点（或称终于周期点）。f的终于周期点集合记为EPer（f）。f的周期点必是准周期点，反之不真。并且∞Per（f）.EPer（f）=f.m（Per（f））.m=0f的回复点集合记为Rec（f）。显然，Per（f）。Rec（f）。定义1.2.5集合ω（x）=.{fk（x）|k.n}n∈N与α（x）=.{f.k（x）|kn}n∈N分别称为Orbf（x）的ω极限点集和α极限点集.其中，N表示正整数集合。由这个定义可见，ω（x）和α（x）都是闭集。如果X是紧致的度量空间，则对于一切x∈X，ω（x）和α（x）都是非空的。定义1.2.6设x∈X，若存在x的邻域U（x）。X，使得对于一切k∈Z.{0}，fk（U（x））∩U（x）=.，其中.表示空集，则称x为f的游荡点.不是游荡点的点称为非游荡点（non-wanderingpoint）。换言之，对x的任意邻域U（x），总存在整数k=0，使得fk（U（x））∩U（x）=..，则称x为f的非游荡点。f的非游荡点全体所构成的集合称为f的非游荡集，记为Ω（f）。由该定义可知，f的游荡点集是开集，f的非游荡集Ω（f）是闭集。定义1.2.7设集合Λ。X，且F（Λ）=Λ（对于半动力系统F（Λ）。Λ），称Λ为f的不变集.又若Λ是f的非空闭不变集，并且不存在真包含于它之中的非空闭不变子集，则称Λ为f的极小集。定理1.2.1设f:XX是一个连续映射，则（i）Ω（f）是闭集；→（ii）ω（x）。Ω（f），从而Ω（f）非空；x∈X（iii）全体周期点集Per（f）。Ω（f）；（iv）f（Ω（f））。Ω（f），又若f为同胚，则Ω（f）为不变集，即f（Ω（f））=Ω（f）。证（i）根据定义1.2.6，X。Ω（f）为开集，故Ω（f）为闭集。（ii）设x∈X，y∈ω（x），兹证y∈Ω（f）.用V表示点y的邻域，兹求满足f.n（V）∩V=.的n.1，从而存在n.1和某个z∈V，满足fn（z）∈V.事实上，因为y.∈ω（x），故存在自然数列{ni}，满足fni（x）y，选择ni00，U是x的邻域，则有x∈f.n（U）∩U，从而x∈Ω（f）。（iv）设x∈Ω（f），V为f（x）的邻域，则f.1（V）是x的邻域。从而存在某个n>0，使得f.（n+1）（V）∩f.1（V）=..。因此，f.n（V）∩V=..，故f（x）∈Ω（f），即f（Ω（f））。Ω（f）.如果f是同胚，必有Ω（f）=Ω（f.1）。因此，由f.1（Ω（f））。Ω（f）知，f（Ω（f））=Ω（f），即Ω（f）是不变集。定义1.2.8（i）连续映射f:X→X称为单边拓扑传递的（topologically transitive），倘若存在某些x∈X，其半轨道{fn（x）n.0}在X中稠；（ii）同胚映射f:XX称为拓扑传递的，|倘若存在某些x∈X，其轨道Orbf（x）={fn（x）n∈Z}在→X中稠。如果同胚映射|f:XX是单边拓扑传递的，称f是拓扑混合的.存在例子说明，拓扑传递的同胚映射→f不是拓扑混合的。反之，f拓扑混合必拓扑传递，且Ω（f）=X。定理1.2.2设f:XX是紧致度量空间的同胚映射，则以下的说法等价：（i）f是拓扑传递的；→（ii）设E是X的闭子集，是f的不变集，则或者E=X，或者E无处稠密（换言之，对于任何满足f（U）=V的开子集U。X，或者U=.，或者U为稠集）；（iii）对任何非空开集U，V，存在n∈Z，使得fn（U）∩V=..；

《现代数学基础丛书144:混沌、Mel'nikov方法及新发展》主要面向从事动力系统应用的读者，亦可作为硕士研究生、博士研究生和对常微分方程与动力系统感兴趣的人员的入门读物。所介绍的内容是基本的，可供对混沌及其应用感兴趣的研究人员参考。阅读《混沌、Mel'nikov方法及新发展》需要学习过数学分析和微分方程课程的基础知识。

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第一作者已经出版了若干本这方面的书，确实很牛，这是20年多前《混沌与Mel'nikov方法》一书的再版，值得阅读和收藏。

好东西......慢慢研读.....

《混沌、Mel'nikov方法及新发展》介绍精确地判定Smale马蹄存在意义下具有混沌性质的Mel'nikov方法，并介绍近年来学者们所发展的同宿和异宿到耗散鞍型周期轨道的同宿和异宿缠结理论。

混沌、Melnikov方法及新发展一书好