证明与反驳
2007-3
复旦大学出版社
(英)伊姆雷·拉卡托斯
193
方刚 兰钊
无
该书是匈牙利裔英国籍著名哲学家伊姆雷·拉卡托斯于20世纪60年代完成的一部探索数学史上新发现的产生过程的力作，主要阐述作者用5年时间收集的两个典型的数学案例，以及本书编者添加的拉卡托斯1961年在剑桥大学所撰博士论文的部分片段。 拉卡托斯是用对话体的形式进行写作的，他虚构了教师在课堂上与学生们讨论正多面体欧拉公式 V-E+F=2 的猜想与发现、证明和反驳的全过程，形象地展现了数学史上对此问题进行研究探索的真实的历史图景，以此来挑战和批判以希尔伯特为代表的认为数学等同于形式公理的抽象、把数学哲学与数学史割裂开来的形式主义数学史观。这篇光辉论著旨在解决数学方法论的基本问题，以一种探索和发现的情境逻辑来代替形式主义和逻辑实证主义的抽象教条。正如拉卡托斯所说，非形式、准经验的数学的发展，并不只靠逐步增加的毋庸置疑的定理的数目，而是靠以思辨与批评、证明与反驳之逻辑对最初猜想的持续不断的改进。 本书的写作形式也颇为新颖，作者以课堂讨论的对话形式来展现数学的发现，生动地体现了数学发展的辩证过程。 正因为此，该书还可以作为数学教学的案例，给广大数学教师提供了一种示范性的教学法。特别要提请读者注意的是，该著作脚注的内容十分丰富，诸多数学史上的争论都体现在注释之中，所以脚注部分也应该看作是正文的有机组成部分，不可忽略。 作者在著作后面还列了一个非常完整的参考书目，对书中提到的问题和观点感兴趣的读者可以按图索骥，定会有更大的收获。
拉卡托斯（Imre Lakatos，1922—1974），英籍匈牙利人，出身于匈牙利的一个犹太人家庭，是20世纪著名的数学哲学家、科学哲学家，也是现代科学哲学历史学派的主要代表之一。二战期间是积极的共产党人，1950年至1953年以修正主义者之名被监禁。1956年苏联出兵匈牙利后，流亡到英国，继续求学，获剑桥大学哲学博士学位，后入英国籍。从20世纪60年代初起到去世为止，一直在伦敦经济学院任教，与波普（Karl Popper）和沃特金斯（John Watkins）共事，波普任科学方法、逻辑学和哲学系主任，并任《科学哲学》杂志主编。主要著作有《科学研究纲领方法论》、 《数学、科学与认识论》、《证明与反驳》。
编者前言致谢作者引言第1章 1.一个问题与一个猜想 2.一个证明 3.用局部而非全局的反例对证明的批评 4.全局的反例对猜想的批评 （a）猜想之拒斥。让步法 （b）反例之拒斥。怪物排除法 （c）以例外排除法改进猜想。逐步排除。策略性撤退或稳扎稳打 （d）怪物校正法 （e）以引理并入法改进猜想。证明生成的定理VS.素朴的猜想 5.全局而非局部的反例对证明分析的批评。严格性的问题 （a）守御定理的怪物排除 （b）隐藏引理 （c）一证多驳法 （d）证明VS.证明分析。定理概念与证明分析之严格性概念的相对化 6.再论局部而非全局的反例对证明的批评。内容问题 （a）以更深入的证明扩增内容 （b）向最终证明与相应的充分必要条件进军 （c）不同证明得出不同定理 7.重谈内容问题 （a）素朴猜想的素朴性 （b）作为多证多驳法之基础的归纳 （c）演绎的猜测VS.素朴的猜测 （d）以演绎猜测扩增内容 （e）逻辑的反例VS.探试的反例 8.概念的形成 （a）以概念拉伸来反驳。重估怪物排除——兼重估错误与反驳之概念 （b）证明引生的概念VS.素朴的概念。理论分类VS.素朴分类 （c）再论逻辑反驳与探试反驳 （d）理论的概念拉伸VS.素朴的概念拉伸。连续发展VS.批判发展 （e）内容增加的极限。理论反驳VS.素朴反驳 9.批评如何可把数学真理变为逻辑真理 （a）无限制的概念拉伸摧毁意义与真理 （b）温和的概念拉伸可将数学真理变为逻辑真理第2章 编者引言 1.把猜想翻译成矢量代数“完全被认可的”术语。翻译的问题 2.猜想的另一个证明 3.关于证明之终极性的一些疑问。翻译的程序以及实在 论者的定义方法VS.唯名论者的定义方法附录1 多证多驳法中的另一个案例研究 1.柯西为“连续性原理”所作的辩护 2.赛德尔的证明以及证明生成的一致收敛概念 3.阿贝尔的例外排除法 4.有关证明分析法之发现的障碍附录2 演绎主义方法VS.探试法 1.演绎主义方法 2.探试法。证明产生的概念 （a） 一致收敛 （b） 有界变分 （c） 可测集的卡拉西尔德瑞定义参考书目人名译名对照表
OMEGA:或是如此。但可以有两种方式解释规4.迄今我们只考虑过第一种稍弱的解释：“以反例驳不倒的略鈸修改石：矽引理替代错误的引理，来制作并改进证明，是轻历易举的事”；要能如此，所需的不过是对证明的“更细心的”检查和一次“平常的观察”。依此种解释，规则4不过是在原始证明的框架内的范围补缀而已。 我还要考虑可替代第1种的激进解释：替换引理——或者可能是所有引理—一的手段，不只是要努力把给定证明的最后一小块内容全挤出来，并且可能还要发明一个完全不同的、内容更广的更深人矽证明。 老师：譬如说？ OMEGA:我早先同一位朋友讨论了笛卡儿—欧拉猜想，他立马给出了如下的证明：让我们想象一个空心多面体，其表面由任意刚性材料制成，比如硬纸板。其棱必须在其内表面清楚地画上。让其内灯火通明，并设某一面是一个普通相机的镜头——从此面我便可拍一张所有棱与顶点的快照。 SIGMA[旁白]：照相机参加了数学证明？ OMEGA:于是我得到一张平面网状结构的相片，可与你的证明中的平面网状结构做同样的处理。我亦可以相同方式说明，若面是单连通的，便有V-E十F=1，再加上照片上不可见的镜头那一面，我便得到欧拉公式。这里的主要引理是：存在多面体的一个面，其换为照相机镜头后，便可照出多面体的内部景象，让所有的棱与顶点皆在胶卷显影。现在我引入下面的简略表述：不说“至少从一个面可拍遍其内部的多面体”，而说“准凸多面体”。 BETA:所以你的定理是：所有带单连通面的准凸多面体是欧拉多面体。 OMEGA：为了简洁，及表扬这个特殊证明思想的发明者，我倒愿意说：“所有8果内多面体是欧拉多面体”。 GAMMA：可是有许多的简单多面体啊，虽然从头到脚是欧拉多面体，但却犬牙交错得厉害，使得不能由任一面照遍其内部！日果内的证明并不比柯西的深入——倒是柯西的证明比日果内的深入！ OMEGA：那还用说！我推测老师已知道了日果内的证明，他由一些局部而非全局的反例发现它不尽如人意，便把光学——照相——引理换了更为宽广的拓扑学一一拉伸一引理。他由之得到了更深入的柯西证明，其方法不是作一点小改动尾随的“仔细的证明分析”，而是激进且富于想象的革新。 老师：我接受你的例子——但我并不曾了解到日果内的证明。不过，如果你以前知道，你为何不把它告诉我们呢？ OMEGA:因为我立即便用欧拉多面体非日果内多面体把它驳倒了。 GAMMA:我方才说，我也发现了这样的多面体。但是否那便是一股脑儿废弃日果内证明的理由？ OMEGA:我是这么认为的。 ……
《证明与反驳:数学发现的逻辑》的写作形式也颇为新颖，作者以课堂讨论的对话形式来展现数学的发现，生动地体现了数学发展的辩证过程。正因为此，该书还可以作为数学教学的案例，给广大数学教师提供一种具有实践意义的教学法。 特别要提请读者注意的是，该著作脚注的内容十分丰富，诸多数学史上的争论都体现在注释之中，所以脚注部分也应该看作是正文的有机组成部分，不可忽略。……
无
这是一本让我不仅仅觉得是所描述的数学内容有趣的书。书中以对话体的方式，通过历史上对多面体欧拉公式的真伪辩论，来说明作者对于科学发现的认识。
如何才能证明一个定理为真？或许这是不可能的，因为人类的语言没有明澈到这么一个地步，能够毫无偏差地描述所要描述的概念。（这句话本身就有点问题，既然已经是定理了，又何必去证明？或许应该说是猜想——但你又怎么能说一个已经被证明为真的定理不会在基本的定义上出现问题而被人全盘推翻？）那么应该如何定义基本的概念？唯一稳妥的方法就是不加定义。那么你如何知道自己心中的概念就是正确的概念？天晓得，或许你只有透过历史上不那么明晰和正确的定义来评判自己。
原来所谓的科学就是错误的堆积，加上空灵的概念。等你抽掉下面的梯子时，科学的大厦就完成了。
这是一部融汇贯通了数学史的好书，哲学思想上受其好友波普的影响——科学不是真理，而是不断逼近事实的猜想。数学例证深入浅出，厚积薄发，把百年来一个不断发展的数学猜想，用课堂对话的形式加以重现。非常生动。举例小学生都可看懂，而其丰富想象力与科学发现的哲学，耐人寻味。多年前在外地出差，买过一本，爱不释手，读小说一样看了它。搬家后不太好找了，又买一本新印的版本，给儿子看。
证明与反驳：数学发现的逻辑，这个系列买了不少，物超所值，精美。值得购买
在证明与反驳这本书中，逻辑思维的梳理以及在于辩证法的处理上有很独特的思维，在于一系列的命题的分析上，很好...很强大...在于数学的学习不是简简单单的数字，是一个数学思维建立很重要...
围绕数学的方法论展开，内容新颖，以对话的形式来讨论
可以抽点时间看看，很不错
介绍了一些有关数学理性发展进程的过程。“对话模式”是本书比较特别的一个方面。
很好的数学理论书，将逻辑讲得深入浅出。引领我们更深入的思考数学的原理。适应有一定数学基础，喜欢数学的高中以上人阅读。其他可能会感觉枯燥。不过对数学基础较好的人，读后会有很大教益。
探究数学逻辑，开启思维智慧，提升学习能力
辩证的看待问题，更恰当的理解数学的发展
凡是想了解更多数学本质，想了解数学如何进步，想探索如何搞好数学教学的读者都会爱不释手
你可以把它看做是数学著作，也可以看作是思维训练的书
顶，拉卡托斯
可以被交易到火箭队了
西方文化理念丛书这很不错，这本书以几何一个定理讨论了证明与反驳
书不错，另一种看待数学的方式。
读了这本书后真的对数学有又有了新的认识，值得购买。
对数学感兴趣的不要错过
学数学的人对这个词不陌生，但是需要好好去追寻一下，认真读此书，受益匪浅是也！
看看文科的种种诡辩 数学才是正宗！
数学爱好者不容错过
数学科普的经典
证明与反驳
刚拿到手还没细读，粗略看了看，感觉书的写法很新颖，课堂讨论的形式很有意思，值得一读
逻辑实证主义，虽然在西方被批判，但是在中国，我们很缺少这种东西！
不会从头到尾都是在讨论欧拉定理吧，感觉中断后再看比较费劲。
书的内容很不错，能增强你的逻辑思维。
这本书展示如何严谨地展开逻辑思维，非常好。
挺不错的，培养一下逻辑思维能力吧。
要读就直接读大师著作,不怕不懂，科学素养的形成不是一朝一夕，要从青少年抓起，用科学来塑造人，远离那些乌七八糟的东西
书应该不错，不过没有我想象中的大。
包装好，书的质量也好，内容更是没话说。
重温大学时代
书挺不错的 很喜欢
很经典的书，值得好好学习！
我很喜欢所买的书，质量好，很高兴。
很值得看的一本书！！喜欢！
具有趣味性，很好的一本书。
经典的书籍，印刷，品质，内容俱佳。强烈推荐阅读收藏
印刷好纸质不错性价比很好
真的很牛逼 不过我还没看
不错，当当现在送货速度快了很多
对于思考方法的提升和改变有作用，论证的缺陷能有效减少，考虑的方法和方面更严谨。
很好，送货超级快！
现在这个版本为何对我高中时看的那个版本（或者译本）绝口不提呢？
简直就是中欧的“论语”，老师还要求读书笔记。。。
确立了形式化的正确地位
好看，有趣
还可以 适合当课外阅读的作品
很好 不过我看不懂
好书，导师推荐的，已经看过电子扫描版的，还想再看一看
hahhaha
如题，只是觉得读起来有快感
学理科的儿子非常喜欢看。
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拓展思维，逻辑性强！
对于学习数学的学生来说，是一本了解数学发现的方法论的好书。
有利于学习和了解数学史，明白数学的发展过程，有利于初等数学方向的学习。
又一个猜想的提出到得证，从全局到局部，过程中体现了证明与反驳的魅力，可以一看。
数学到最后，留下的是那百分之一的思想。而逻辑是我们学习数学的关键之一，这本书帮助了很多，让你更有逻辑地思考。
这本书不错，不过比起波利亚的《怎样解题》《数学发现》等则略逊一筹总体上是本好书
我觉得楼上看得明的人很强大，我在很努力的阅读当中，比较难，不过坚持看到后面，发觉渐渐多了，最重要能明白其中的一些数学术语，那就容易理解多了
很适合中小学数学教师阅读
经典，数学这系列书都可以买来看看
不错的书 可以提高数学素养
很好的数学读物，物有所值。
数学真是自然之基础！
有点深奥，我一下子还看不明白。可能是自己数学树皮太低，数学素养不够，还得努力。
数字语言内在逻辑吧，一些问答的方式
这套丛书都很不错，迈开虽然还没看，但看完丛书里其他的著作后，这本书也毫不犹豫地买了
内容还没读呢，翻了一遍，用很多公式和几何的推导作为例子，感觉还不错
这种书可能不会让你考试拿高分，但可以提高你整个人的思维能力
好书是值得花时间的。
帮同学买的，他说还不错，我也觉得不错。
没来得及细看，翻了两页还不错
很有趣的书，逻辑性强
喜欢这书，印制的一半
读书能让人聪敏
大道至简，本书一般，很深，很歪的小道
内容不错，个人水平有限，读起来有点慢，不少地方还没搞明白。
印刷质量不错。内容也还行
要慢慢消化，多看几遍才行
还好，挺难看下去
很好，很适合阅读
书中以对话体的方式，通过历史上对多面体欧拉公式的真伪辩论，来说明作者对于科学发现的认识。 如何才能证明一个定理为真？或许这是不可能的，因为人类的语言没有明澈到这么一个地步，能够毫无偏差地描述所要描述的概念。
全文就是讨论一个欧拉定理，解释一些数学的思考过程。
太深了！建议本科数学毕业再来看！
这本书我只能说还好吧。。。都是对话形式。。。
数学发现的逻辑
适合想系统了解数学的人
产品很不错
数学要有一定基础
还不错，先收为快