數學可以救羅馬？20個數學世界裡的奇妙謎題
臉譜出版
伊恩·史都華 著 陳品秀
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偶爾，當我覺得異常輕鬆，思緒開始遊走時，我會好奇，如果每個人都像我一樣喜歡數學，這個世界會變成什麼光景呢。電視新聞會以最近的代數拓撲學（algebraic topology）理論來取代庸俗的政治醜聞，青少年會將數學理論排行榜下載到他們的iPod，而卡利普索（calypso）〔編注：千里達的民歌，也在加勒比群島東、南部演唱，歌詞常以詼諧的語調諷刺當地的政治和社會事件〕歌者（記得他們嗎？）會用吉他撥彈出「輔助定理三」的曲調……這倒提醒了我，1960年代末，民歌手凱利（Stan Kelly，現為凱利―布托〔Stan Kelly-Bootle〕，查看Google）在華威大學（Warwick University）攻讀數學碩士時，真的寫過這麼一首歌。歌曲是這麼開始的： 輔助定理三，非常漂亮，而逆定理也很漂亮， 不過只有上帝和費馬知道其中何者為真。 總之，我一向認為數學是靈感和喜悅的來源。我知道對大多數人來說，數學只會觸動恐懼，而非樂趣，不過我發現自己實在無法認同這樣的觀點。理智上，我了解數學恐懼症廣布的幾項原因：當你希望透過自己的行事風格，以幾句行話和厚顏行徑擺脫麻煩時，再也沒有比一個必須絕對要求正確和精密的主題來得糟糕的事。但情感上，我發現自己很難理解，為什麼攸關我們所居世界的這麼一個活力十足，有著如此漫長和豐富的歷史，且充滿有史以來最傑出的人類智慧的主題，無法引起興趣，迷惑人心？ 另一方面，觀鳥人同樣無法理解為什麼其他人不能分享他們的熱情。「我的老天，那不是小鳳頭燕鷗笨蛋的求偶羽衣嗎？英國最後一隻紀錄有案的是1843年在斯凱島（Isle of Skye）發現的，那一隻部分躲在一個－－噢，不好了，它只是尾巴沾有泥土的椋鳥。」沒有冒犯的意思－－我蒐集石頭。「哇！真正的亞斯文（Aswan）花崗岩耶！」我們家堆滿了地球岩塊。 大多數人認為「數學」這個詞就是習以為常的算術，這或許無可避免。如果你會做，以某種蠢笨的想法來說，它很有趣。如果你不會，它很可怕。更甚者，假若有人拿著一支大紅筆站在旁邊，等著你出點小錯，以便跳進來攪局的話，要對某些東西－－無論是數學或觀鳥－－感興趣絕非易事（只是一種比喻，卻再真不過）。畢竟，朋友間一、兩個小數點算什麼？但英國國民教育課程和小亨利的理解之間的鴻溝呢，數學的諸多樂趣似乎就在古老過時的方式中遺失殆盡。多可惜啊。 我不是宣稱本書會對大眾的數學能力產生奇效，雖然我假設它或許可以（用哪種方式……啊，那又是另一回事了）。我試著在本書中做的是，說服那些不信邪的人。這本書是為了數學迷、數學狂熱者、積極熱愛數學的人，以及從玩樂中得到許多樂趣且始終保有一顆年輕的心的人而存在的。葛瑞爾（Spike Gerrell）可愛的漫畫強化了輕鬆的氣氛，並且完美表達討論的精神。 然而，我的意圖絕對嚴肅認真。 我原本想把這本書命名為《數學分心的武器》（Weapons of Math Distraction），這個書名對我來說有平衡嚴肅和輕鬆的作用，所以我可能得感謝行銷部門的否決。但現在這個蛋糕指向的標題也有危險性，你們有些人或許會想買這本書來獲得一些真正的烹調指導。我可不保證能做到：這是一本關於數學本質的謎題和遊戲的書，不是食譜。蛋糕只是波雷爾測度（Borel measure）的空間而已。 嚴重偽裝成……一塊蛋糕。數學老師教我們的不是如何做蛋糕，而是如何平均分給任何數目的人。並且－－這一點難多了－－不會心生嫉妒。切蛋糕可以簡單地導入數學的分配理論。就像許多入門數學，也是專家戲稱的「玩具模式」那樣，它是從真實世界的東西中徹底簡化出來的。不過它能夠讓你好好思考一些關鍵議題。例如，它凸顯了下面的情況，就是為幾個競爭團體分配資源很容易，只要依他們不同的評價方式，讓他們都認為公平即可。 就像之前的書《遊戲、集合與數學》（Game， Set and Math）、《我不知道的另一種有趣的數學》（Another Fine Math You’ve Got Me Into）和《數學歇斯底里》（Math Hysteria）（後者和本書一樣是牛津大學出版社〔Oxford University Press〕出版），本書內容擷取自1987年至2001年間，我為《科學人》雜誌（Scientific American）及其外文譯本撰寫的一系列數學遊戲專欄。專欄部分做了些微的調整，所有已知的錯誤已經修正，一些數量不明的新錯誤又加了進來，而讀者們的評論以「讀者迴響」為題，適切地置入章末。 我回復了一些因為篇幅關係而未能出現在雜誌上的材料，所以這是一種「導演剪接（切法）」，我可以這麼說。主題從圖形（graph）到機率，從邏輯到極小曲面（minimal surface）〔編注：所有點的平均曲率（mean curvature）為0的曲面〕，從拓撲學到準晶體（quasicrystal）〔編注：狀態介於非結晶的玻璃態固體（特殊形態的金屬和其他礦石，以及普通玻璃），與具精確晶格的晶體之間光子的原子型物質〕。當然，少不了蛋糕的分配。它們泰半以娛樂價值，而非重要性作為抉擇的要件，所以請不要把內容想像成研究新領域當前活動的完整代表。 然而，它的確反映了研究新領域當前的活動。切蛋糕這個熱門議題是悠久數學傳統的一部分－－至少可回溯至三千五百年前的古巴比倫－－一種從微不足道的東西中挖掘嚴肅議題的傳統。於是就像本書一樣，當你讀到「為什麼電話線老纏在一起？」時，題目本身不只是用來整理如老鼠巢穴般的電話線圈。最好的數學有一種好奇的本質，所以某個簡單的問題衍生出的想法才能解釋其他許多問題。在真實世界中，許多東西扭轉和旋轉：電話線、植物卷鬚、DNA分子、海底電纜。 這四種扭轉和旋轉的數學用途，有著許多截然不同的基本特性：如果電信工程師拿走你的電話線，換上一截旋花植物，你一定會大為光火。不過它們也共同具有一個很有用的特性：一個簡單的數學模式在它們身上發光發熱。它或許無法回答每個你想回答的問題，它或許忽略掉一些重要的實質議題，但一個簡單的模式一旦開啟了數學分析的大門，那麼更複雜、更精細的模式就能以此為基礎發展出來。 在本書中，我旨在利用抽象思維和現實世界的混合體，激發各種數學構想。對我來說，收穫不在於實際解決現實世界的問題。主要的收穫是新的數學。少少幾頁不可能發展出數學上的重大用途，但對任何有足夠想像力的人來說，可以欣賞到一個數學構想如何從一種東西出發，出乎意料地應用於一種不同的東西。本書中的最佳範例或許是「帝國」與電子電路（electronic circuit）的連結。一個關於地球和月球的地圖著色奇怪假設謎題（第九章），可實際應用來測試電子電路板瑕疵這個重要問題（第十章）。重點是，數學家一開始是從微不足道的來源（雖然不像這裡舉的例子那麼微不足道），偶然得出中心構想，進而發現它的用途非同小可。 還有另一種方式。第十五章受到一些亞洲螢火蟲引人注目的行為啟發，那裡的雄性螢火蟲同步發出閃爍的光–—或許是為了改善牠們吸引雌性的集體能力，而非個別能力。為什麼閃爍會同步呢？這裡重點出現了，數學指出問題所在並提供至少部分解答，而後者又更清楚地告訴我們，相同的數學可以應用在其他許多關於同步的問題。我的方法是將整件事轉化成你可以玩的方格板遊戲。繞個彎來說：關於那個遊戲一些看似簡單的問題尚未獲得解答。某種意義來說，我們對實際應用的了解，遠勝於簡單模式本身。 除了極少數例外，本書每一章均可獨立成篇。你可以從任何地方切入，如果卡住了，不管原因為何，都可以放棄那一章，改讀其他章節。你的獲益是－－我宣稱－－充分了解數學主題的寬廣，以及可以比在學校學到的多出多少，對數學的廣泛用途感到訝異，還有將整個主題整合成單一、驚喜有力的一套東西的驚奇跨領域連結。所有這一切將透過解謎和玩遊戲來達成。 還有，更重要的是，藉由多動腦來完成。 永遠不要低估玩耍的力量。 史都華 2006年4月於科芬特里（Coventry）
★暢銷科普作家伊恩·史都華的神奇數學世界 ★《大自然的數學遊戲》、《生物世界的數學遊戲》、《給青年數學家的信》作者又一力作 纏在一起的電話線、下不完的棋、這樣綁那樣弄的鞋帶、怎麼切都大大小小的蛋糕， 20個生活裡的科學，數學天地神奇又迷人的謎題！ 為什麼電話線總是打結？ 一個木箱最多可以放進多少瓶牛奶？ 怎麼綁鞋帶用到的鞋帶最短？ 為什麼科學家說復活節是一個準晶體？ 君士坦丁大帝如果懂得0與1程式設計，就可以挽救羅馬帝國的命運？！ 還有，更重要的，怎樣切蛋糕才不會讓你的那一半比我的這一半大？
伊恩．史都華（Ian Stewart） 華威大學（Warwick University）數學教授，英國皇家學會（Royal Society）院士，國際知名數學科普作家。他獲獎無數，不僅影響數學領域本身，也致力於大眾對數學的理解，以及其他相關科學範疇。史都華著作等身，作品包括《上帝擲骰子嗎？》（Does God Play Dice？）、《大自然的數學遊戲》（Nature’s Numbers）、《生物世界的數學遊戲》（Life’s Other Secret）、《雪花是什麼形狀？》（What Shape Is a Snowflake？）、《數學歇斯底里》（Math Hysteria）、《給青年數學家的信》（Letters to a Young Mathematician）、《更平坦之地》（Flatterland）等書。譯者簡介陳品秀 台北市人，台大哲學系畢業，先後在美國新墨西哥州州立大學和亞歷桑納大學藝術研究所取得碩士學位。主要關注為視覺藝術和大眾文化。現為英文教師，並從事藝術創作和翻譯，譯作包括《設計小史》、《時尚小史》、《設計的表裡》、《幾隻襪子湊一雙？》等書。
前言第一章 你的那一半比我的這一半大！第二章 廢除平均律第三章 算術與舊鞋帶第四章 悖論失去第五章 把圓沙丁魚封進錫罐裡第六章 下不完的棋局第七章 「Quod」遊戲第八章 零知識協定第九章 月球帝國第十章 帝國與電子第十一章 復活式洗牌第十二章 雙雙泡泡，辛苦又麻煩第十三章 磚廠裡的交叉線第十四章 無嫉妒分配第十五章 瘋狂閃爍的螢火蟲第十六章 為什麼電話線老纏在一起？第十七章 無所不在的西爾賓斯基墊片三角形第十八章 捍衛羅馬帝國！第十九章 拿走三角剖分第二十章 復活節是一個準晶體圖片出處……
復活節落在春分當天或春分之後出現第一個月圓（但不是那一天）後的第一個星期天，春分依慣例是3月21日，甚至可能不是這一天……還有那不是真的月亮，而是教會定義的……噢，管它那麼多，只要知道耶誕節是哪一天就行了。 我為《科學人》雜誌所寫的第一個娛樂性數學專欄，就是關於費馬的耶誕節定理。隨著復活節即將到來，利用我的第九十六篇，也是最後一篇專欄來寫復活節似乎是唯一合適的選擇。本章就是根據那篇最後的專欄寫就的。 耶誕節總是在12月25日，所以算出耶誕節的日期毫無困難……但復活節就完全不是那麼回事了。復活節可以是3月22日至4月25日間的任何一天，其間長達五個星期。早期的基督教會設計了自己的方法，計算復活節的日期。 至於數學家的行動，要從公認歷史上最偉大的數學家高斯，發明了一套只需要知道相關年分的簡單規則開始。不幸的是，高斯的研究有一個小失誤，所以根據他的規則算出4200年的復活節是4月13日，正確日期應該是4月20日。他親自在自己那份已出版的論文上更正了這個錯誤。 1876年，一個匿名的美國人在科學期刊《自然》雜誌，提出第一個正確的純粹數學程序。1965年，歐拜恩（ThomasH.O’Beirne）在其著作《謎題與悖論》（PuzzlesandParadoxes）中發表了兩則這類程序，下面我會描述其中一則。較近期的是，晶體學家麥凱（AlanMacKay，倫敦大學學院）注意到，復活節是一個時間準晶體（time-quasicrystal）－－一種謎樣的說法，稍後我也會解釋。 復活節日期逐年變化有一些歷史因素。首先，它必須在星期天，因為耶穌在星期五被釘在十字架上，然後星期天復活。它和猶太人逾越節的時間的關聯，意味著復活節應該與逾越節密切相關，逾越節的慶祝活動是在春天第一個月圓開始的一星期。 因此，復活節的日期與幾個不同的天文週期有關，這也是真正困難之處。朔望月（lunarmonth）〔編注：月亮從朔到朔或從望到望的週期，朔是農曆每月初1，看不見月亮；望是農曆每月15、16或17日，滿月〕現在約29.53天，而太陽年（solaryear）〔編注：地球在公轉軌道上對春分點運行一周的時間〕是365.24天。也就是一太陽年有12.37個朔望月，這種關係多不方便啊，因為它不是一個整數。換算一下，兩百三十五個朔望月非常接近十九個太陽年，而教會確定復活節日期的系統利用了這種巧合。 325年的尼西亞大公會議（CouncilofNicaea）決議，復活節應該落在春分當天或春分之後出現第一個月圓（但不是那一天）後的第一個星期天。春分是3月晝夜等長那一天：9月秋分時晝夜再次變得等長。此外，依慣例春分會在3月21日。然而，正如我們將看到的，這只是複雜歷史中一個關鍵的事件。 閏年有時會讓真正的春分落在3月22日：這種可能性可以忽略。當時是以儒略曆（Juliancalendar）計年，每四年有一個閏年；要經過整整十九個儒略年（一儒略年有365.25天）才會再有月圓。換算成慣用的朔望月曆法，這段期間等於兩百三十五個二十九天或三十天的朔望月（有時在閏年是三十一天）。這個週期剛好每七十六年重複一次－－四個十九年的週期，經過這段時間，閏年的模式會重複。這裡的數學原理是，兩個不同整數長度的週期在兩者都回到它們原來的位置之前，必須重複的次數等於兩者的最小公倍數，而76是19和4的最小公倍數。 這個十九年的期間稱為月運週期（lunarcycle），而在月運週期中是以所謂黃金數來表示年的位置，黃金數從1開始到19，然後再重複從1開始。復活節的日期是以五百三十二年的週期重複。 這是一個井然有序的系統，但不幸的是，數學沒有準確遵循朔望月和太陽年的真正長度，而且隨著時間過去，曆法開始與季節脫離關係（著名作家但丁〔DanteAlighieri〕指出，最終1月將不再是冬天的一部分）。討論持續超過千年，直到1582年，教宗格列高利十三世（PopeGregoryXIII）改革了民曆，刪除100的倍數的閏年，只留下400的倍數的閏年（2000年就是一例）。為了改正先前與季節的脫勾，刪除了該年10月4日至15日之間的十天。 格列高利接受天文學家克拉維烏斯（Clavius）的建議，很少相關現象能逃過克拉維烏斯的注意。除了黃金數，教會的計算程序包括一個稱為epact的第二計量，它是1到30之間的一個整數，以日為單位，度量月亮的假定年齡（始於0＝30＝新月），緊接著相關年分的1月1日起算。每個世紀伊始，epact的週期都會修正，但黃金數的週期毫無差錯地繼續下去。擇定epact等於改正了儒略曆的錯誤，也修正了兩百三十五個朔望月並未剛好等於十九個太陽年的事實。這類改正沒有發生在1900年、2000年或2001年，但2002年就派得上用場。 這個系統是折衷方案。天文學上真正的春分最早可能出現在3月19日－－2096年會發生－－或在非常晚的3月21日，1903年便是如此。1845年和1923年，在世界上多數地區，天文月圓發生在復活節的星期天，而在東經地區則發生在復活節後的星期一。1744年，有一次月圓發生在復活節星期天之前八天的星期六，只有那些在極西經的地區月圓發生在星期五。 真正的月亮不會屈從於教會公約。 為了完成它的計算，教會利用一套字母系統，以ABCDEFG代表一星期七天，以1月1日為A開始。每年都有一個主日字母（dominicalletter），視哪個字母代表星期天〔編注：若1月1日是星期天，該年的主日字母就是A；若1月2日是星期天，該年的主日字母是B，依此類推〕。因為所有其他計算法都忽略閏年的2月29日（就這些目的而言，它視同3月1日），在閏年會有兩個主日字母－－一個字母用於1月和2月，另一個字母用於其餘月分。利用所有這些資訊，就可能為任一給定年分列出相關年曆表，並找出復活節的日期。 歐拜恩的方法納入各種週期，並調整為一個算術組合，現在我會說明這種方法，把它運用在2001年的情況。 讓我們把格列高利曆的年分設為x。現在算出下面十個計算程序（很容易寫成電腦程式）： 1.x除以19，得到一個商（予以忽略）和一個餘數A。 2.x除以100，得到一個商B和一個餘數C。 3.x除以4，得到一個商D和一個餘數E。 4.8B＋13除以25，得到一個商G和一個餘數（予以忽略）。 5.19A＋B－D－G＋15除以30，得到一個商（予以忽略）和一個餘數H。 6.A＋11H除以319，得到一個商M和一個餘數（予以忽略）。 7.C除以4，得到一個商J和一個餘數K。 8.2E＋J－K－H＋M＋32除以7，得到一個商（予以忽略）和一個餘數L。 9.H－M＋L＋90除以25，得到一個商N和一個餘數（予以忽略）。 10.H－M＋L＋N＋19除以32，得到一個商（予以忽略）和一個餘數P。 則復活節的星期天是第N月的第P天（3＝3月，4＝4月）。 此外：黃金數是A＋1，而epact是23－H或53－H中介於0與30之間者。2E＋2J－K除以7，然後取其餘數，就能得到主日字母。然後0＝A，1＝B，2＝C，依此類推。 我們用x＝2001試算這個方法。則（1）A＝6；（2）B＝20，C＝1；（3）D＝5，E＝0；（4）G＝6；（5）H＝18；（6）M＝0；（7）J＝0，K＝1；（8）L＝6；（9）N＝4；（10）P＝15。所以2001年的復活節是4月15日。 大致說來，這十個步驟有下列作用： 1.找出該年在19-年週期中的位置（事實上，A＋1就是這一年的黃金數）。 2.格列高利曆的閏年規則：每個世紀年（100的倍數年）B增加1。 3.D只在世紀年才會增加，E代表不是閏年的世紀年數。 4.G是根據epact做的月分更正。 5.H相當於epact（23－H或53－H中介於0與30之間者）。 6.M處理關於epact的一個特殊情況。事實上，M＝0，除非H＝29（當M＝1且epact是24），或H＝28且A＞10（又當M＝1）。 7.開始計算復活節月圓的星期天。處理一般閏年的問題。 8.從epact導出月圓的日期。 9.算出復活節的月分。 10.算出復活節在那個月的日期。 一般來說，復活節的日期會逐年晚上八天，但有時也會因為各種影響（閏年、月亮的週期，諸如此類）而提前，以一種看似不規則卻其實遵循上述算術程序的方式進行。麥凱了解這種近規則的（near-regular）後退情況應該用一個圖表顯示出來，圖表呈現年分與復活節日期的對應（圖65）。結果近乎一個規則晶格（regularlattice），有如一個晶體的原子晶格（atomiclattice）（麥凱是晶體學家）。然而，這個曆法的特性讓日期與晶格相較略有差異，所以這個圖式是一個準晶體。 圖651950年至2010年的復活節準晶體 左座標由上到下→ 4月25日 4月20日 4月15日 4月10日 4月5日 3月31日 3月26日 3月21日 準晶體不如晶體（它們的原子形成一個精準的晶格）那麼規則，但決不隨意。 準晶體的發現與在平面上鋪磁磚的奇特方式有關，而這項發現來自牛津大學物理學家彭羅斯（RogerPenrose）。鋪磁磚時用了兩種形狀的磁磚，剛好鋪滿平面，但沒有週期性地重複同樣的圖樣。準晶體的原子有同樣的準規則性（almostregularity）。 由於使用格列高利曆法，復活節日期的週期要在整整五百七十萬年之後才會重複：這是70，499，183個朔望月和2，081，882，250天。雖然遠在第一次重複之前，這個曆法就會脫離相關的天文事實。無論如何，月和日的長度正緩緩改變，主要是因為潮汐摩擦力（tidalfriction）的關係。 其他因素也可能造成改變。1928年，英國國會做了一項決議，如果相關宗教權威人士同意，可以把復活節的日期固定在4月第二個星期六之後的第一個星期天，日後不會再有爭端。果真如此，未來復活節或許會好算多了。儘管在此之前，它是一個天文週期整數近似值的絕佳範例，具足了本身有趣的幾何解釋。而你可以編寫復活節規則的公式，然後找出解答，例如1，000，000年的復活節是哪一天呢？相信一定樂趣十足。 答案：4月16日，和2006年一樣。
