陶哲轩实分析
2008-11
人民邮电出版社
陶哲轩
464
王昆扬
无
此书的材料来源于2003年我在加州大学洛杉矶分校教授高等本科水平实分析系列课程的讲义。本科生普遍认为实分析是最难学的课程之一，这不仅是由于许多抽象概念(例如拓扑、极限、可测性，等等)初次遇到，而且也是由于课程所要求的证明的高度严格性。由于认识到这个困难，老师常常面临困难的选择，要么降低课程的严格性水平而使其容易一些，要么保持严格的标准而去面对众多学生、甚至很多优秀学生在与课程的材料进行艰难奋斗时的求助与企盼。面对此种困境，我尝试用一种稍许不同的方式来处理这门课程。按照典型的方式，在实分析中一系列导引内容是预先假定了的，假定学生已经熟知实数，熟知数学归纳法，熟悉初等微积分，并且熟悉集合论的基础知识，然后一下子就进入课程的核心内容，例如极限概念。通常确实会给进入课程的学生轻描淡写地展示一下这些预备性的知识，但在绝大多数情况下，这些材料都不是认真地叙述的。例如，极少有学生能够真正地定义实数，甚或真正地定义整数，尽管他们可以直觉地想象这些数字并熟练地对它们进行代数运算。我觉得这好像是失去了一个良好的机会，在学生首次遇到的课程当中，实分析(与线性代数和抽象代数一样)是这样的一门课，人们确实必须全力抓住一个真正严格的数学证明的本质。正因如此，这门课程提供了一个极好的机会去回顾数学的基础，特别是提供了一个做出实数的真正精确的解释的机会。于是我这样来安排这门课。在第一周，我描述分析中的一些众所周知的“悖论”，在这些悖论中，平常的算律(例如极限与求和的交换，或求和与积分的交换)以不严格的方式加以使用而导出像0=1那样的荒谬的结果。这就启发我们提出这样的要求：回到事物的开端，甚至回到自然数的真正的定义，并且要求从头检验全部的基础原理。例如，第一个习题就是(只使用Peano公理)验证自然数的加法是结合的(即(a+b)+c=a+(b+c)对于一切自然数a，b,c成立，见习题2.2.1)。那么，即使是在第一周，学生也必须使用数学归纳法来写出严格的证明。当推导出自然数的全部基本性质之后，我们就转向整数(其原始定义是自然数的形式差)；一旦学生验证了整数的一切基本性质，我们就转向比例数①(其原义是整数的形式比)；而后我们就(经由cauchy序列的形式极限)转到实数。与此同时，还要涉及集合论的基础，例如演示实数的不可数性。仅在此后f大约十讲之后)我们才开始进入人们通常认为的实分析的核心内容——极限、连续性、可微性，等等。
本书强调严格性和基础性, 书中的材料从源头——数系的结构及集合论开始, 然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等), 再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析, 最后到达Lebesgue积分, 这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录．课程的材料与习题紧密结合, 的是使学生能动地学习课程的材料, 并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。 本书适合已学过微积分的高年级本科生和研究生学习。
陶哲轩（Terence Tao），2006年菲尔兹奖得主，享誉世界的澳大利亚籍华裔天才青年数学家，现任美国加州大学洛杉矶分校教授。在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论和表示论等多个领域取得了许多重要成果。他的经历可谓传奇，12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌（这项纪录至今无人打破），21岁获得普林斯顿大学博士学位，24岁成为终身教授，2007年32岁时当选英国皇家学会会士。除菲尔兹奖外，他还荣获了著名的Alan T.Waterman奖（奖金额50万美元）和Clay研究奖等众多荣誉。
第一部分第1章 引论 31.1 什么是分析学 31.2 为什么要做分析 4第2章 从头开始：自然数 122.1 Peano公理 132.2 加法 192.3 乘法 23第3章 集合论 263.1 基本事项 263.2 Russell悖论(选读) 363.3 函数 383.4 象和逆象 443.5 笛卡儿乘积 483.6 集合的基数 53第4章 整数和比例数 594.1 整数 594.2 比例数 654.3 绝对值与指数运算 694.4 比例数中的空隙 72第5章 实数 755.1 Cauchy序列 765.2 等价的Cauchy序列 805.3 实数的构造 825.4 给实数编序 895.5 最小上界性质 945.6 实数的指数运算，第I部分 98第6章 序列的极限 1026.1 收敛及极限的算律 1026.2 广义实数系 1076.3 序列的上确界和下确界 1106.4 上极限、下极限和极限点 1126.5 某些基本的极限 1186.6 子序列 1196.7 实的指数运算，第II部分 122第7章 级数 1257.1 有限级数 1257.2 无限级数 1337.3 非负实数的和 1387.4 级数的重排 1417.5 方根判别法与比例判别法 145第8章 无限集合 1498.1 可数性 1498.2 在无限集合上求和 1558.3 不可数的集合 1608.4 选择公理 1638.5 序集 166第9章 R上的连续函数 1739.1 实直线的子集合 1739.2 实值函数的代数 1789.3 函数的极限值 1809.4 连续函数 1879.5 左极限和右极限 1909.6 最大值原理 1939.7 中值定理 1969.8 单调函数 1989.9 一致连续性 2009.10 在无限处的极限 205第10章 函数的微分 20710.1 基本定义 20710.2 局部最大、局部最小以及导数 21210.3 单调函数及其导数 21410.4 反函数及其导数 21510.5 L'Hpital法则 217第11章 Riemann积分 22011.1 分法 22011.2 逐段常值函数 22311.3 上Riemann积分与下Riemann积分 22711.4 Riemann积分的基本性质 23111.5 连续函数的Riemann可积性 23511.6 单调函数的Riemann可积性 23811.7 一个非Riemann可积的函数 24011.8 Riemann-Stieltjes积分 24111.9 微积分的两个基本定理 24411.10 基本定理的推论 248第二部分第12章 度量空间 25512.1 定义和例 25512.2 度量空间的一些点集拓扑知识 26212.3 相对拓扑 26512.4 Cauchy序列及完备度量空间 26712.5 紧致度量空间 269第13章 度量空间上的连续函数 27413.1 连续函数 27413.2 连续性与乘积空间 27613.3 连续性与紧致性 27913.4 连续性与连通性 28013.5 拓扑空间(选读) 283第14章 一致收敛 28714.1 函数的极限值 28714.2 逐点收敛与一致收敛 29014.3 一致收敛性与连续性 29414.4 一致收敛的度量 29614.5 函数级数和WeierstrassM判别法 29814.6 一致收敛与积分 30014.7 一致收敛和导数 30214.8 用多项式一致逼近 305第15章 幂级数 31215.1 形式幂级数 31215.2 实解析函数 31415.3 Abel定理 31815.4 幂极数的相乘 32115.5 指数函数和对数函数 32415.6 谈谈复数 32715.7 三角函数 333第16章 Fourier级数 33816.1 周期函数 33816.2 周期函数的内积 34016.3 三角多项式 34316.4 周期卷积 34516.5 Fourier定理和Plancherel定理 349第17章 多元微分学 35417.1 线性变换 35417.2 多元微分学中的导数 35917.3 偏导数和方向导数 36217.4 多元微分链法则 36817.5 二重导数与Clairaut定理 37117.6 压缩映射定理 37317.7 多元反函数定理 37517.8 隐函数定理 379第18章 Lebesgue测度 38418.1 目标：Lebesgue测度 38518.2 第一步：外测度 38618.3 外测度不是加性的 39418.4 可测集 39618.5 可测函数 401第19章 Lebesgue积分 40419.1 简单函数 40419.2 非负可测函数的积分 40919.3 绝对可积函数的积分 41619.4 与Riemann积分比较 42019.5 Fubini定理 421附录A 数理逻辑基础 426附录B 十进制 446索引 453
插图：
《陶哲轩实分析》的材料与习题紧密结合，目的是使学生能动地学习课程的材料，并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。“我对此书的赞赏，首先是它的逻辑严格。从实数(甚至自然数)讲起，不留任何漏洞。国内外的实分析教科书，认真讲实数的实在不多。其次是陶哲轩认真的教学态度。他的讲述，贯穿严谨、透彻的精神，而其苦口婆心的态度，分外令人感动。第三，此书是基于讲义写成的，我赞赏它的令人读来感到亲切的风格。”——王昆扬，北京师范大学教授源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加卅I大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。原著分为两卷，中译本将两卷合并出版。全书从分析的源头——数系的结构及集合论开始，然后引向分析的基础，再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析，最后到达Lebesgue积分。这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的，将严格性和直观性完美结合起来。而且课程的材料与习题配合无间，非常便于学习。
无
严谨！简练！易懂！这本教材似乎是最合适鄙人口味的数学教材之一。数学是严谨的科学，她的理论中不因存在含糊不清的地方。我们学习高等数学时似乎是不怎么注意这一点的，即使是学习的是《数学分析》课程也是如此，极少有课程或教材是把其理论直接建立在数理逻辑和集合论的基础上的。大家学习起来总是有种建造空中楼阁的意味，而且中小学学习的初等数学也似乎应该重新整理一番（严密化！）。这本教材正可以达到我所提到的要求，这在国内外绝大多数的分析基础教材中是没有做到的。事实上鄙人收藏有很多的这类教材，除了本教材之外，还有两套教材也在某种程度上达到了这种要求，一个是国内的已故教授张筑生先生的《数学分析新讲》（第一册）（他没有直接以数理逻辑和集合论，但是他创新地用十进制小数定义出了实数。这么做有一点好处：易懂；又有一点坏处：没有体现出数学的抽象化，他用了具体的模型——无限小数。），另一个是苏联数学家卓里奇的《数学分析》（第一版）（国内有世界出版社的影印版和高教的中译本），他简要地介绍里数理逻辑和集合论，并在其上构建了自然数系、整数系、有理数系和实数系，但是介绍得比较简略，就不会显得十分的严密了。华裔天才数学家陶哲轩的这本教材称得上是无与伦比地严密了！另外书中的文字还显得简练、易懂，读起来十分的亲切！称得上是分析基础类书籍中的上上之作。
华裔天才青年数学家,书籍从引论,自然数,集合,整数,实数,极限,级数,函数,微分...就像从头开始学数学一样,一个体系下来,绝对值的深入学习.分析学有实分析,复分析,调和分析,泛函分析.....
非常好的分析教材。陶哲轩是澳籍华裔，年纪轻轻就获得了巨大的数学成就。这本教材叙述严格，不过对没有微积分基础，或者初学者难度很大。可以再有一定基础后再看。非常值得一学。我很喜欢。
大师级的作品！“陶哲轩实分析”这本书有完整，严谨的数学体系。
从基础教起，慢慢第从中扣入，真是一本好的数学分析著作。
对于一个工科学生来说，即只学过高等数学的同学，这本书特别适合补补一些数学分析的基础知识。书中的材料基本是作者的自己的理解，陶天才将这些材料组织的很合乎自学，课后习题很多都有提示，这些问题本身是一些基本定理的证明，多思考思考，对于怎样读数学书也是有意的，即在读的时候要仔细体会这些定理，多了解各个条件之间是什么关系，而不是走马观花。当然，对比之下，国内有些基本是罗列知识的教材是多么的枯燥无趣，这些编者不知在编书的时候到底有没有考虑读者的感受？
这本书实在是太好了，内容写的通俗易懂，而且作者的功底也是深不见底。行云流水般的文字将一些复杂的问题具象化，真是大师啊。虽然只看了一章，却深深被这本书吸引。我个人觉得，国内的教材实在太次了，只有这种大师级别的人写出来的才是一等一的高著！太值得一读了，陶哲轩，当今世界的又一伟大数学家啊，教育学家。多写点书吧，更多的数学爱好者多等着汲取广博的数学海洋中的点点滴滴！
对分析一词尚未了解的我翻开此书竟发现就如同早年所读的数理数理逻辑一般，开始讲的是皮亚诺公理，后来“分析”种种理论。习题并不难，很有上课的气，他的课程应该许多学生爱听的吧。期待求学途中能早些见到陶教授。
看陶哲轩的书，就能发现他的严谨。其实学习就需要这种精神。不过还是有点浅，不适合数学系的。
这是一本相当不错的书！它从自然数的定义开始讲述，一直到级数轮，测度论，十分严谨，每一步的推导都是有严格的推导过程，说服力很强！现在，很难再找到像这样一本治学态度如此严谨的一本好书了1
写得非常好，逻辑严密，只是多元积分写的有点少
陶哲轩的书很不错，很值得好好读读
希望通过这本书能学习到terence tao的思维方式!!上上品的好书!
出于对陶哲轩的钦佩，以及母校老师翻译，必须拿下这本书！还没看，应该是正版，质量不错。
tao天才的书果然够牛的，什么问题都写得有根有据，不管多简单的东西都要自己证明过才用，对数学的严谨确实让人敬佩。
真心喜欢数学的人不能错过了。
评价很高的一本书，买来看看，感觉与一般的实分析的书确实不太一样。
有难度的书。体现了数学的严格性。如果是工程应用的目的，就没什么必要了。
仔细看会发现逻辑很严谨，在看书的过程中会渐渐发现一个实数系统被建立。。。。。。看书时要忘记自己知道的关于实数的各种运算规则，以免做习题时陷入循环论证，不过我还想知道如何由zfc公理系统来导出peano公理系统。。。
书中貌似有个地方翻译错的，是正则性公理那里，最后那应该不是“不同”而是“不交”吧？
我只看了100多页，剩下部分不好评论，不过个人感觉还是挺通俗的~
读了一下，确实是实分析方面的经典之作。
书很好，可惜我不是数学专业的，我拿给老师看，她说这些是数学专业的才会学，我们不需要。不过我很想很想当陶教授的学生，还是给好评吧。
这本书在分析书中是很特别的，读起来比较舒服，口语化的行文，而且从最基础讨论，是打好分析基础的好书
研究生水平的本科书。对分析的理解有很大的提高
数学天才就是不一样,看了里面的内容才知道数学的严密性。慢慢看吧！
逻辑推理和演绎推理的严谨让人佩服，不愧是联合国数学家，物理学家。
看了几页,就认为是很不错的一本分析书
刚看了几页就觉得是很不错的一本分析书
一个经济专业的博士朋友和一个理论物理的硕士朋友都跟我说这书很好。我水平没有那么高，但是读了之后，也觉得作者的思路非常清楚，让读者思路清楚的良苦用心也非常清楚。对于那些除了对数学的应用，而且对数学本身也很有兴趣的人来说，这书是很好的。
很好的数学入门书
很喜欢的一本书，对理解分析很有好处
内容印刷都很好！世界闻名的华人数学家的著作，值得阅读收藏！
天才的书，没得说
本来的数学基础不好，现在好好的补补。加油！
这本书作者的写作态度非常认真，对读者很负责任。把基本概念一条线串起，对我自己梳理杂乱的数学概念很有帮助~不愧是名师的作品！！
时隔几年，又提起了对数学的无限热爱
便宜买的据说不错，数学用书的风格各异
不愧是数学神童！很好的专著
给孩子买的书，对孩子学习有帮助。
陶喆选的书挺好的，是真版的，很有深度，适合专业的人看
别人推荐的，应该还不错，作者基本是个天才。
生动、深刻、具体、严谨，以前读大学时很多模糊的东西，一下子都弄明白了，豁然开朗。
书的整体质量不错，但给我寄来的这本书的封面背侧有很多划痕。
逻辑严谨，不是很简单
推出了实数系
超级的书，作者很牛啊！
高人写的书，就不必评说了。刚看了第一章，超喜欢。
作为教材还行，想深入一点需要补充专门的书。
书很好的。。
无论是为考研 还是自学都是本不错的书哦
大牛的书，没得说
这次送货质量不错书写得很详细，适合从头打基础
从基础讲起，很详细，不错
喜欢这本书，可是翻译尼玛好水……好水……
听说讲解很清晰
给同学买的，听他说还不错。
还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧还好吧
好书啊，好教程～
正在读，感觉还不错 很亲切
还不错了，老师推荐的
挺好的，给女儿买的，她说很好
内容很详实，很精彩。
易懂的好书
内容安排的很好 对初学者循序渐进的引导 是不可多得的好书
写的很好，很详实
欧美经典著作，很值得一读。
浅显易懂，很不错啊
作者是绝对的牛人
讲的很好需要慢慢看
能很好的启发你的思想的
我读了5章了,感觉还蛮舒服的,题目难度也不是特别大,循序渐进
邮政的投递速度提高了，如果有快递更好。
内容讲的比较好,值得专业人士认真研读...
正版的图书，印刷很好。
绝对是本好书，细致严谨，规范，深入，是我喜欢的，也是牛人给我推荐的
严谨细致精致
这个商品不错 哈哈
“图灵数学”系列一直是我心头的大爱啊，早已购买了系列中的不少了，自不会放过这本《陶哲轩实分析》。这本书实在很棒、很专业，所附习题也值得一练。
陶哲轩不愧是菲尔兹的得主写的真好
不愧是大师的书。作者从本科生的角度为读者讲述实分析的方方面面，内容深入浅出。读后会让人明白很多在数学分析中未弄明的难点。作者不惜花较大的篇幅为读者讲述实数理论，确实难得。但书中翻译得还是有点小错，但无伤大雅。作者逻辑的严谨和对知识理解的深刻，确实让人叹服。但读来绝不是让人捉摸不透的，而是很明朗的。
杰出的华人数学家~菲尔兹奖得主~他的书值得一读！
书没有细看，大体翻了一下。这本书有个很明显的特色--很多正文中的定理被当作习题，要求读者证明，当然了，提示通常都有。
需要很好的线性代数和微积分的基础才可以看的比较透
发货很快，还没认真读，不过翻了翻感觉论证严格，而且同时做到了很容易懂，毫不晦涩
静下心好好学，这本书我买了挺久的 还没真的去看多少···
天下第一神童写的书，应该仔细地去读一下。
不错，从非常基础开始讲解，贯穿着一种思维。
本书从自然数讲起，不留一丝漏洞
内容太好了...就是纸质看起来不像正版
还没看，不过大名鼎鼎。
速度很快，这是我喜欢当当的地方
没看呢，很深奥
数学系的同学可以买来当教材，我推荐你买这本好书
的确不错，够得上经典
可以做一本初级读物，内容不是很深，但很有人情味~
看了作者介绍是个天才，书应该也不会太差
很牛的人
书应该也很厉害吧
原作者绝对是天才！严密的逻辑被糟糕的翻译给糟蹋了，翻译的也太差了，好多常识的东西，都翻译错了，估计连校对多没做，建议后来者最好读原版！！
刚刚拿到手的一本书，非常好的一本书，翻译的也还不错。当然一定要去[...]看看，其实就是根据math131A和B的讲义写成的书，上面有作业和解答。陶上课的教材就是Rudin的数学分析讲义，两本书配合起来看应该更好。还可以去[...]%7Ecrisp/courses/math401/info.html下载这本书的前四章，可以看到陶的文笔相当生动亲切！下面有为朋友说到有理数翻译成比例数的问题，这其实在项武义的《微积分大意》中已经这么做了，我觉得这不是什么问题。不过按照复旦的秦曾复先生在一篇文章中的考证，有理数中的理就是比例的意思，如此看来这样翻译成比例数还是大可不必了。不过还是要说明一下，就像manifold翻译成流形，如果不了解文言中流形的意思还真是摸不着头脑。
“国内外的实分析教科书，认真讲实数的实在不多”，不同意，再说此书的优点不在此处
用局部的思想切入，用序列的观点说明问题的思想令人印象深刻~~~
学生时代怎么没遇到这本书啊， 郁闷啊！ 我是计算机系的，自学实分析那叫一个痛苦，而这本书深入浅出，有点微积分基础都能搞定顶啊。
本身的数学水平很高与写好书之间的关系：个人观点，除非表达能力不行，否则水平高的人也一定能写出好书，因为他本人对该学科的本质有非常清晰透彻的洞察，而这种洞察越深刻，思路就越清晰，写起书来也一定处处体现了作者本人的思维与观点。这本书我看过英文版的，有人说没什么特色，但开头先回到基础的数学分析教材，除了这本和卓里奇的那本，目前我还没见过第三本，且这本更为详细。再说，这么做确实有意想不到的作用，可以培养陶哲轩本人说的“分析的思维”：定理成立的前提，为什么这些定理起作用，很快对新的情况形成认识。是一种很有远见的方法！至于中文版，把有理数翻成比例数，其一，译者已经事先声明了这一点；其二，这么翻更能体现有理数的定义方式（本质），虽不能说有多么高深，但我以为这种直译是十分可取的。就像线性代数中线性无关的概念，英文linear independent,直译是线性独立，可能更容易理解这个概念的“实际含义”——各向量之间线性独立的意思就是它们之间没有任何线性的关系，彼此没有影响，即其中任何一个向量都无法用别的向量的线性组合表示，从而自然的引出定义。