思考的乐趣
2012-6
人民邮电出版社
顾森
266
286000
无
序一 我本不想写这个序。因为知道多数人看书不爱看序言。特别是像本书这样有趣的书，看了目录就被吊起了胃口，性急的读者肯定会直奔那最吸引眼球的章节，哪还有耐心看你的序言？ 话虽如此，我还是答应了作者，同意写这个序。一个中文系的青年学生如此喜欢数学，居然写起数学科普来，而且写得如此投入又如此精彩，使我无法拒绝。 书从日常生活说起，一开始就讲概率论教你如何说谎。接下来谈到失物、物价、健康、公平、密码还有中文分词，原来这么多问题都与数学有关！但有关的数学内容，理解起来好像并不是很容易。一个消费税的问题，又是图表曲线，又是均衡价格，立刻有了高深模样。说到最后，道理很浅显：向消费者收税，消费意愿减少，商人的利润也就减少；向商人收税，成本上涨，消费者也就要多出钱。数学就是这样，无论什么都能插进去说说，而且千方百计把事情说个明白，力求返璞归真。 如果你对生活中这些事无所谓，就从第二部分开始看吧。这里有“让你立刻爱上数学的8个算术游戏”。作者口气好大，区区5页文字，能让人立刻爱上数学？你看下去，就知道作者没有骗你。这些算术游戏做起来十分简单却又有趣，背后的奥秘又好像深不可测。8个游戏中有6个与数的十进制有关，这给了你思考的空间和当一回数学家的机会。不妨想想做做，换成二进制或八进制，这些游戏又会如何？如果这几个游戏勾起了探究数字奥秘的兴趣，那就接着往下看，后面是一大串折磨人的长期没有解决的数学之谜。问题说起来很浅显明白，学过算术就懂，可就是难以回答。到底有多难，谁也不知道。也许明天就有人想到了一个巧妙的解答，这个人可能就是你；也许一万年仍然是个悬案。 但是这一部分的主题不是数学之难，而是数学之美。这是数学文化中常说常新的话题，大家从各自不同的角度欣赏数学之美。陈省身出资两万设计出版了《数学之美》挂历，十二幅画中有一张是分形，是唯一在本书这一部分中出现的主题。这应了作者的说法：“讲数学之美，分形图形是不可不讲的。”喜爱分形图的读者不妨到网上搜索一下，在图片库里有丰富的彩色分形图。一边读着本书，一边欣赏神秘而惊人美丽的艺术作品，从理性和感性两方面享受思考和观察的乐趣吧。此外，书里还有不常见的信息，例如三角形居然有5000多颗心，我是第一次知道。看了这一部分，马上到网上看有关的网站，确实是开了眼界。 作者接下来介绍几何。几何内容太丰富了，作者着重讲了几何作图。从经典的尺规作图、有趣的单规作图，到疯狂的生锈圆规作图、意外有效的火柴棒作图，再到功能特强的折纸作图和现代化机械化的连杆作图，在几何世界里我们做了一次心旷神怡的旅游。 原来小时候玩过的折纸剪纸，都能够登上数学的大雅之堂了！最近看到《数学文化》月刊上有篇文章，说折纸技术可以用来解决有关太阳能飞船、轮胎、血管支架等工业设计中的许多实际问题，真是不可思议。 学习数学的过程中，会体验到三种感觉。 一种是思想解放的感觉。从小学里学习加减乘除开始，就不断地突破清规戒律。两个整数相除可能除不尽，引进分数就除尽了；两个数相减可能不够减，引进负数就能够相减了；负数不能开平方，引进虚数就开出来了。很多现象是不确定的，引进概率就有规律了。浏览本书过程中，心底常常升起数学无禁区的感觉。说谎问题，定价问题，语文句子分析问题，都可以成为数学问题；摆火柴棒，折纸，剪拼，皆可成为严谨的学术。好像在数学里没有什么问题不能讨论，在世界上没有什么事情不能提炼出数学。 一种是智慧和力量增长的感觉。小学里使人焦头烂额的四则应用题，一旦学会方程，做起来轻松愉快，摧枯拉朽地就解决了。曾经使许多饱学之士百思不解的曲线切线或面积计算问题，一旦学了微积分，即使让普通人做起来也是小菜一碟。有时仅仅读一个小时甚至十几分钟，就能感受到自己智慧和力量的增长。十几分钟之前还是一头雾水，十几分钟之后豁然开朗。读本书的第四部分时，这种智慧和力量增长的感觉特别明显。作者把精心选择的巧妙的数学证明，一个接一个地抛出来，让读者反复体验智慧和力量增长的感觉。这里有小题目也有大题目，不管是大题还是小题，解法常能令人拍案叫绝。在解答一个小问题之前作者说：“看了这个证明后，你一定会觉得自己笨死了。”能感到自己之前笨，当然是因为智慧增长了！ 一种是心灵震撼的感觉。小时候读到棋盘格上放大米的数学故事，就感到震撼，原来264-1是这样大的数！在细细阅读本书第五部分时，读者可能一次一次地被数学思维的深远宏伟所震撼。一个看似简单的数字染色问题，推理中运用的数字远远超过佛经里的“恒河沙数”，以至于数字仅仅是数字而无实际意义！接下去，数学家考虑的“所有的命题”和“所有的算法”就不再是有穷个对象。而对于无穷多的对象，数学家依然从容地处理之，该是什么就是什么。自然数已经是无穷多了，有没有更大的无穷？开始总会觉得有理数更多。但错了，数学的推理很快证明，密密麻麻的有理数不过和自然数一样多。有理数都是整系数一次方程的根，也许加上整系数2次方程的根，整系数3次方程的根等等，也就是所谓代数数就会比自然数多了吧？这里有大量的无理数呢！结果又错了。代数数看似声势浩大，仍不过和自然数一样多。这时会想所有的无穷都一样多吧，但又错了。简单而巧妙的数学推理得到很多人至今不肯接受的结论：实数比自然数多！这是伟大的德国数学家康托的代表性成果。 说这个结论很多人至今不肯接受是有事实根据的。科学出版社去年出了一本书名为《统一无穷理论》，该书作者主张无穷只有一个，不赞成实数比自然数多，希望建立新的关于无穷的理论。他的努力受到一些研究数理哲学的学者的支持，可惜目前还不能自圆其说。我不知道有哪位数学家支持“统一无穷理论”，但反对“实数比自然数多”的数学家历史上是有过的。康托的老师克罗内克激烈地反对康托的理论，以致康托得了终身不愈的精神病。另一位大数学家布劳威尔发展了构造性数学，这种数学中不承认无穷集合，只承认可构造的数学对象。只承认构造性的证明而不承认排中律，也就不承认反证法。而康托证明“实数比自然数多”用的就是反证法。尽管绝大多数的数学家不肯放弃无穷集合概念，也不肯放弃排中律，但布劳威尔的构造性数学也被承认是一个数学分支，并在计算机科学中发挥重要作用。 平心而论，在现实世界确实没有无穷。既没有无穷大也没有无穷小。无穷大和无穷小都是人们智慧的创造物。有了无穷的概念，数学家能够更方便地解决或描述仅仅涉及有穷的问题。数学能够思考无穷，而且能够得出一系列令人信服的结论，这是人类精神的胜利。但是，对无穷的思考、描述和推理，归根结底只能通过语言和文字符号来进行。也就是说，我们关于无穷的思考，归根结底是有穷个符号排列组合所表达出来的规律。这样看，构造数学即使不承认无穷，也仍然能够研究有关无穷的文字符号，也就能够研究有关无穷的理论。因为有关无穷的理论表达为文字符号之后，也就成为有穷的可构造的对象了。 话说远了，回到本书。本书一大特色，是力图把道理说明白。作者总是用自己的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉，在关键之处还不忘给出饱含激情的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考。不少数学科普，甚至国外有些大家的作品，说到较为复杂深刻的数学成果，常常不肯花力气讲清楚其中的道理，可能认为讲了读者也不会看，是费力不讨好。本书讲了不少相当深刻的数学工作，其推理过程有时曲折迂回，作者总是不畏艰难，一板一眼地力图说清楚，认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使本书能够成为不少读者案头床边的常备读物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收获。 信笔写来，已经有好几页了。即使读者有兴趣看序言，也该去看书中更有趣的内容并开始思考了吧。就此打住。祝愿作者精益求精，根据读者反映和自己的思考发展不断丰富改进本书；更希望早日有新作问世。 2012年4月29日
本书内容大多是从作者6年多以来积累的上千篇博客中节选而来的，分为“生活中的数学”、“数学之美”、“几何的大厦”、“精妙的证明”和“思维的尺度”五部分。书中基本不涉及高深的数学理论，但是内容新颖、时尚，既有与现实生活联系紧密的应用型话题，又有打通几何、代数联系的富有启发性的讨论，还间或介绍了一些著名数学难题的最新研究进展，信息十分丰富。
本书是广大数学爱好者的美味佳肴，只要具备简单数学基础即能阅读。
顾森，网名Matrix67，北京大学中文系应用语言学专业学生，数学爱好者。2005年开办数学博http://www.matrix67.com，至今已积累上千篇文章，已有上万人订阅。长期为各类科普杂志供稿，从事中学数学教育工作多年。
第一部分 生活中的数学 1
1. 概率论教你说谎 2
2. 找东西背后的概率问题 5
3. 设计调查问卷的艺术 7
4. 统计数据的陷阱 9
5. 为什么人们往往不愿意承担风险？ 13
6. 消费者承担消费税真的吃亏了吗？ 15
7. 价格里的阴谋 19
8. 公用品的悲剧 30
9. 密码学与协议 34
10. 公平分割问题 44
11. 中文自动分词算法 49
第二部分 数学之美 55
12. 让你立刻爱上数学的8个算术游戏 56
13. 最折磨人的数学未解之谜 61
14. 那些神秘的数学常数 76
15. 奇妙的心电图数列 84
16. 不可思议的分形图形 88
17. 几何之美：三角形的心 100
18. 数学之外的美丽：幸福结局问题 108
第三部分 几何的大厦 111
19. 尺规作图问题 112
20. 单规作图的力量 123
21. 锈规作图也疯狂 130
22. 火柴棒搭成的几何世界 134
23. 折纸的学问 141
24. 万能的连杆系统 147
25. 探索图形剪拼 153
第四部分 精妙的证明 159
26. 我最爱的一个证明 160
27. 把辅助线作到空间中去的平面几何问题 162
28. 小合集(一)：几何问题 169
29. 皮克定理的另类证法和出人意料的应用 179
30. 欧拉公式的另类证法和出人意料的应用 185
31. 定宽曲线与蒲丰投针实验 192
32. 来自不同领域的证明 196
33. 平分面积的直线 203
34. 小合集(二)：图形证明 205
35. 生成函数的妙用 212
36. 利用赌博求解数学问题 215
37. 非构造性证明 217
38. 小合集(三)：数字问题 220
第五部分 思维的尺度 223
39. 史诗般壮观的数学证明 224
40. 停机问题与“万能证明方法” 227
41. 奇怪的函数(一) 232
42. 比无穷更大的无穷 234
43. 奇怪的函数(二) 243
44. 塔珀自我指涉公式 246
45. 俄罗斯方块可以永无止境地玩下去吗？ 249
46. 无以言表的大数：古德斯坦数列 254
47. 乘法之后是乘方，乘方之后是什么？ 256
48. 不同维度的对话：带你进入四维世界 260
版权页： 插图： 心电图数列有很多有趣的性质。例如，考虑某个质数p，假设数列中第一个含有质因数p的数是t·p。根据定义，t·p和它的前一项有一个公因数。显然这个公因数不可能是p，因为t·p才是质因数p在数列中首次出现的地方；因而，这个公因数只能是t或者t的因数。由于t·p满足最小性，因此我们可以进一步得出，t是t·p前一项的最小质因数。我们还可以推算出t·p的后一项。t·p的后一项要么就是p，要么就是某个比p小的t的倍数。但后者是不可能的，如果存在某个f的倍数比P小而之前又没出现过，那t·p这一项本身就不会是t·p了，而将由这个t的倍数取代。因此，t·p的后一项一定是p。我们还可以看出，只要t≠2，这个p的后一项就一定是2p；而当t=2时，p的后一项就只能是3p了。也就是说，如果数列中出现了一个质数p，那么2p不是它的前一项就一定是它的后一项。 有意思的是，除了p=2以外，目前我们还没有找到2p出现在P后面的情况。换句话说，人们发现，对于数列中的每个奇质数p，它的前一项无一例外地都是2p，并且后一项总是跟着3p。证明或推翻这个猜想并不容易，直到最近几年才出现有关它的证明。很大程度上来说，这是整个数列呈心电图模样的最关键原因。 心电图数列有一个很漂亮的数学事实：所有的自然数都出现在了这个数列中。由这个数列的定义，每个数最多也只能出现一次。因此，心电图数列是全体自然数的一个排列。这个结论的证明堪称经典。首先我们证明引理1：如果数列中有无穷多项都是某个质数p的倍数，那么p的任意一个倍数都出现在了数列中。证明的基本思路是反证。无妨假定k·p是最小的不在数列中的p的倍数，那么我们总能找到一个充分大的Ⅳ，使得从第Ⅳ项开始所有数都不小于k·p。然而数列中有无穷多项都是P的倍数，因此在第N项后面一定能找到一个p的倍数，这个数的下一项就只可能是k·p了，矛盾。 我们可以故技重施，继续证明引理2：如果某个质数p的任意一个倍数都出现在了数列中，那么所有正整数都出现在了数列中。反证，假设尼是最小的不在数列中的数，我们总能找到一个充分大的N，使得从第N项起后面的所有数都不小于k。由于质数p的任一倍数都在数列里，因此k·p的任一倍数都在数列里，即数列中有无穷多项都是k的倍数。那么，第Ⅳ项之后一定存在一个k的倍数，它的下一项就只可能是k了，矛盾。
本书一大特色，是力图把道理说明白。作者总是用自己的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉，在关键之处还不忘给出饱含激情的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考……本书讲了不少相当深刻的数学工作，其推理过程有时曲折迂回，作者总是不畏艰难，一板一眼地力图说清楚，认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使本书能够成为不少读者案头床边的常备读物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收获。 ——张景中，中国科学院院士 事实上顾森的每篇文章都在向读者展示数学确实好玩。数学好玩这个命题不仅对懂得数学奥妙的数学大师成立，对于广大数学爱好者同样成立。 ——汤涛，《数学文化》期刊联合主编，香港浸会大学数学讲座教授
《思考的乐趣》是北大高材生，科普界名人顾森力作，他用简单诙谐的语言烹饪数学佳肴，书中涵盖富有启发性的讨论，没有高深的理论，只有思考的乐趣。
本书一大特色，是力图把道理说明白。作者总是用自己的语言来阐述数学结论产生的来龙去脉，在关键之处还不忘给出饱含激情的特别提醒。数学的美与数学的严谨是分不开的。数学的真趣在于思考……本书讲了不少相当深刻的数学工作，其推理过程有时曲折迂回，作者总是不畏艰难，一板一眼地力图说清楚，认真实践着古人“诲人不倦”的遗训。这个特点使本书能够成为不少读者案头床边的常备读物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收获。 ——张景中，中国科学院院士 事实上顾森的每篇文章都在向读者展示数学确实好玩。数学好玩这个命题不仅对懂得数学奥妙的数学大师成立，对于广大数学爱好者同样成立。 ——汤涛，《数学文化》期刊联合主编，香港浸会大学数学讲座教授
无
一直在网上追Matrix67的博客，居然能集结成书，这小伙子真的太棒了。试问数学是多少人的心头痛啊，但枯燥，艰涩就是数学的本来面目么？学数学确实需要深思参悟，可如果钻研进去，就会发现数学是多么奥妙的东西。非常喜欢序言里面张景中院士说的话，平实却抽丝剥茧，对学习数学的三层体悟描述地十分真切。作为一个理工科出身的人，不得不对Matrix67这样身为文科生，却有跨越文理的哲思头脑感到钦佩，也深表惭愧。希望继续有这样类似的科普作品推出，启迪更多人的思考智慧。
偶然在网上发现了Matrix67的数学博客，里面有许多有意思的，数学小品文，涵盖数论、代数、几何、概率各个方面，语言通俗，生动有趣，让我这个曾经为数学头疼不已的化学本科生彻底爱上了数学。书中用一个个身边的小故事，把深奥枯燥的数学理论生动鲜活的展示给读者，实在是一本数学科普的好书！ 不过……书中的几何部分还是看着头疼……
很早之前就在Matrix67大牛的博客上浏览博文了，他对于编程和数学方面的知识让我佩服不已。这次他把自己博客中的精华部分整理出来，出了这本书，我在网上看到，就把他买下来了。读了Matrix67大牛的文章，你会发现原来数学也是这么有意思的一门学科
1.数学美，美在哪里？很多数学工作者无法用通俗的语言展示，而这位文科北大生居然具备这么深厚数学功底，很自然的向我们展示了数学美。
2.数学与生活紧密联系。很多问题紧扣生活，自然地引出数学问题，让人体会到数学强大功用。
3.思考的乐趣。书名点出了这本书最有意思的主题。人生在世没有思考过，就像没来到这世界上一样，一道道引人入胜的小问题，让人“啊哈灵机一动”，久违的轻松又引人深思的一本书。
Matrix67通过浅显易懂的一些示例生动的描绘了一个非常美丽的数学世界，而这本书就是一个通往这个世界的钥匙
民间数学高手！思考的角度确实与众不同。里面的几何证明很妙，建议数学爱好者和中学生认真阅读。
仅看了一两篇文章，就感受到了作者那种在生活中发现数学的乐趣的感觉。
通过数学来讲解思考的乐趣，很好
一本值得思考的数学书 品味其中的数学之美 美在于思考 思考源于美 美中见趣 趣在于思 思中有数 数中学 会为此乐此不疲
我是学数学教育的，这本书对于大学中数学专业的学习会有很大的帮助，由于对于普通人而言，数学是一个过于抽象的学科，所以学起来吃力的地方就莫过于对于定理概念知识的空谈，而这本书起点很低，描述的语言也很形象，因此，可以对于深入而枯燥的数学研究学习建立起一个很好的桥梁。这本书我是从善科网上看到的，买回来后受益良多
科普的乐趣，其实整本书并不至于很晦涩，即使是初学者也可以感受到数学的乐趣。
一些经典的数学问题，具有一定的启发性，作为科普读物非常适合！
一本非常好的数学读物，闲来思考一下，推荐给学生读，都是不错的选择
乐趣就在于数学的难题被迎刃而解的时候。
作为一直是数学苦手的我心中却有一个琢磨数学的梦，全书主要是一篇篇他的博客文章组成的。如果光拿着看效果其实不大，建议还是拿着一只笔和一张纸自己也一期做演算。每一个篇都值得反复阅读，自己在进行推敲。我觉得学数字，琢磨数学并不只是学生的事情。自己其实也可以完全没有任何功利目的的遨游于其中。
今天收到书了 感觉很不错。
用简单的数学原理带我们领略生活中的数学之美。
非常不错，数学爱好者推荐。
Matix67数学笔记是导师推荐的，原先在豆瓣上看评价很不错，先看着
作者将数学的乐趣挖掘了出来，使人乐在其中
粗读了一下，一本特别的数学科普著作。生活中处处蕴含和数学的光芒，书中的内容非常吸引人读下去。等全看完再回来详细报告。
数学果然很优美，同时一些人想出来的问题也确实蛋疼，但是有时候复杂的问题有简洁的证明和解法，而看似简单的问题，居然能难道全世界的数学家。
想看看文科学霸眼中的数学，读了几篇，不错，很好！准备推荐给读中学的女儿，看看他们是不是可以用思想沟通……
数学学习乐趣的一本书，例子很不错。
这个作者居然是个文科生，很惊奇，但是作者在数学看得很深，有些想法独树一帜。另外，书内容不全，仅仅只是在数学上摘了一些，其实作者的博客上还有很多非数学的东西，遗憾了
不错的一本书，可以和我们的生活联系在一起，让人喜欢数学了。
深刻的讲解了数学与几何，还有一些常见的数学问题。
读起来很有乐趣，激发了对数学的兴趣
北大中文系毕业生写的数学书，很不错。
超赞，原来数学并不像课堂上的那样古板。书中一些证明方法让我获益良多！
适合业余的数学爱好者
中学生和数学爱好者都可以看，耳目一新的感觉。
一个文科生的数学笔记。
看看人家学中文的在怎样思考数学。
数学是好玩的，思维是有趣的。
生活中到处是数学，真的很有意思，开拓思维
里面的内容举得例子都很有趣，很生活，不过那些数学公式让我这种很久不碰数学的人实在理解有点困难，不过是会觉得数学真的很有用~很好
作者是跨专业的,"正因为没在数学专业学习,我才能不以考试为目的地学习自己想学的数学知识,才能对数学有如此浓厚的兴趣"49页, 与我心有戚戚焉, 没有功利色彩,还原知识魅力.多么的难能可贵啊!倘若我们的教育能做到这一点,我们就能够培养出世界级的杰出人才!
仰慕已久阿?今天终于到手了，书中关于数学的知识真的寓教于乐，很好。
开始很吸引人，但是后来的数学证明实在是多……虽然逼自己都看完了
内容很有趣的从生活各个角度发现数学问题并解答 步骤也详细像小说那样 很喜欢啊哈哈
数学也可以这样有趣 还有生活中的经济学 挺好
贴近生活，从生活中发现数学，用数学解释生活。
将基本数学原理与生活现象很好结合，确实不错
书里很多作者的数学应用技巧，值得一看
我的最爱，最喜欢琢磨数学方面知识，内容有趣有待进一步阅读研究。
喜欢数学的学生看看还不错，有些理论比较深。
虽然很多博客上都看过，但是看得出来matrix67写书是用心的。非常好~~
看matrix67的博客很久了，这本书做了一个很好的总结
绝对的好东西！！！买的一堆书里这个是主打，每个人都应该看看，反思一下为什么我们不爱学数学、为什么我们的数学学得如此差劲、为什么一个哪里都能用的上的基础学科却如此不受重视，只因为我们不会学习它！与此书相见恨晚！
通俗有趣的数学科普读物
一个文科生写的数学科普，不错
需要数学底子比较好一些的人读，数学和哲学每一个人都应该学一点
很贴近生活的有趣的数学问题，值得一读
生活的数学，写的非常有趣，值得一读~
有关数学方面的书籍，尤其适合孩子阅读的数学书更少。超喜欢的。
对于我这种大学数学知识都忘光了的人来说，看起来有点点吃力
大部分知识我还没有了解到的，很多年没有买数学相关的书了，这一本还是买了下来，不过书所说的不够通俗，很多知识要有一定的数学基础都才能看明白
对开拓孩子的数学思维，提高对数学的兴趣有些许帮助！
拓展一下数学思维吧
如果不喜欢数学 这本书不适合你 这是一本典型的理科男写的书
这本书对于对数学感兴趣的人来说还是不错的
内容挺有趣的，原来数学无处不在啊。
数学是抽象的艺术，应用数学则不仅在于其趣味性，而是对所发生现象（规律）的审美。
买完还没看 准备开学了再进行头脑风暴 内容很丰富的 奔着Matrix67来的
扩大知识面，了解奇妙的数学知识。作者讲解的图形知识比较多，比如三角形等等，还有统计等。看看还算可以
回到学生时代和数学厮混的日子
数学不枯燥，初中以上对数学很感兴趣的孩子就能阅读
非常好，对OIer来说是很好的数学启发书。
书很不错,是正版,不过好多数学知识,不知道还记不记得
我喜欢数学，所以我喜欢看这种书！
很好的书啊，当然，要对数学真正感兴趣才行
知识说的浅显易懂，不过不够深入，要了解的清楚还得找数学书看后边的一大堆
我数学基础不好，但能看懂
果然需要点数学基础
书本的质量很好。。果断入手了。。但是好多都是数学公式等等。。会锻炼人对数字的蜜柑成都。。希望你有耐心看下去，并且如果看下去，你将受益匪浅，不仅仅是针对考试的哦。。
说实话，里面写的很好，不过对于数学没有太大兴趣的人还是不要买了，坚持不下去啊！
看了点，对我这个数学不好的人来说，有点难，希望看了这个之后，没那么头疼数学了。
很有意思，让我这种对数学不感兴趣的人都感到惊讶，以后得好好学数学！
很好看，也值得深思，即使对数学不感兴趣的人看了也会被吸引过来。
非常好的一本书，开阔视野，增加趣味性，数学的美好展现眼前，太喜欢了！
本书真心不错，数学原来也可以这么好玩！
这本书很有意思，易于理解，很轻松就能理解深奥的数学问题
湖面如镜，虽然能带来内心的平静，可也丧失了活力，变成一潭死水。突然，远处现出一条瀑布，从百米山崖倾泻而下，由此泛起千层波浪，激起万点水花；湖水霎时间充满活力......如果你感觉学数学如同置身那潭死水，则本书就是那条瀑布......
不错的一本书，虽然我的数学不太好
这本书太好看了 特别是我这样热爱数学的
冲着matrix67神牛买的这本书感觉不错，发货什么的都很快，包装也很好刚看目录就觉得很吸引人还在慢慢啃
发货很快，服务很好，图书是正版的，纸质很好，受到大家的欢迎，希望为大家增长数学方面的热情和知识！
做为小孩数学入门兴趣读物，是个不错的选择。
喜欢数学的一定要看。
还没看下去，数学真的让我很头疼。
适合达人提高数学思想
数学数学！！！！
很赞，是一场对应试数学的颠覆，很值得一看
好书，让数学有意思起来
数学原来是这么有意思的一门学科。
趣味数学。
点点数学知识有趣的慢慢道来
数学是很漂亮的，开阔一下视野。
数学很有意思，看了觉得不错
非常棒的数学读物，就是有点贵啊