黎曼猜想漫谈
2012-8
清华大学出版社
卢昌海
220
149000
无
黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。黎曼猜想是千禧年美国克雷数学研究所在巴黎的会议上悬赏百万美元求解7个数学难题中的一个。美国数学家蒙哥马利曾经表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。
但黎曼猜想究竟是什么问题？为什么重要？至今还未有一篇有深度的科普文章进行介绍，只能参考一些数学专业著作或文献，因此一般人也就知道“黎曼猜想”这个问题而已。本书对此做了相当详细的解释，并穿插了一些历史和故事。按知名数学家王元院士的评价：“本书关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一本很好的雅俗共赏的数学科普图书。”
此书写作的缘起是在2003年，作者在书店偶然看到关于“黎曼猜想”的小文章，于是萌生了要写这个方向的专业科普。由于不是约稿文章，所以一方面可以自由写作，一方面又时间上不受限，写写停停，写了八年之久。
到2010年，作者受邀担任《数学文化》杂志的特约撰稿人，并在该杂志连载《黎曼猜想漫谈》。在约稿压力下，终于在2012年1月完成全书。在杂志连载之后，此书受到了海内外一些知名数学家的赞许，王元院士在百忙之中还写了个很长的读后感。《南方周末》也在2012年3月以《十万亿个证据不如一个证明——猜猜黎曼猜想的命运》为题刊登了本书的一个梗概版。科学松鼠会网站也进行了连载，反响很热烈。除此，本书内容也被其他许多知名网站转载或链接过。
卢昌海，出生于杭州，本科就读于复旦物理系。毕业后赴美留学，于2000年获得哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。著有《寻找太阳系的疆界》《太阳的故事》。并在《中国青年报》《科幻世界》《现代物理知识》《中学生天地》《科学画报》等报纸、杂志上发表几十篇科普及高端科普作品。
《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）
一、 哈代的明信片
二、 黎曼ζ函数与黎曼猜想
三、 素数的分布
四、 黎曼的论文--基本思路
五、 黎曼的论文--零点分布与素数分布
六、 错钓的大鱼
七、 从零点分布到素数定理
八、 零点在哪里
九、 黎曼的手稿
十、 探求天书
十一、 黎曼-西格尔公式
十二、 休闲课题：围捕零点
十三、 从纸笔到机器
十四、 最昂贵的葡萄酒
十五、 更高、更快、更强
十六、 零点的统计关联
十七、 茶室邂逅
十八、 随机矩阵理论
十九、 蒙哥马利-欧德里兹科定律
二十、 希尔伯特-波利亚猜想
二十一、 黎曼体系何处觅
二十二、 玻尔-兰道定理
二十三、 哈代定理
二十四、 哈代-李特尔伍德定理
二十五、 数学世界的独行侠
二十六、 临界线定理
二十七、 莱文森方法
二十八、 艰难推进
二十九、 哪里没有零点
三十、 监狱来信
三十一、 与死神赛跑的数学家
三十二、 从模算术到有限域
三十三、 "山寨版"黎曼猜想
三十四、 "豪华版"黎曼猜想
三十五、 未竟的探索
附录A欧拉乘积公式
附录B超越ZetaGrid
附录C黎曼猜想大事记
参考文献
后记
版权页： 插图： 这是黎曼那篇论文的一个极为突出的特点：它有一种高屋建瓴的宏伟视野，远远超越了同时代的其他数学文献。它那高度浓缩的文句背后包含着的极为丰富的数学结果，让后世的数学家们陷入漫长的深思之中。直到今天，我们的数学在整体上虽已远非黎曼时代可比，但数学家们仍未能完全理解黎曼在那篇短短八页的简短论文中省略掉的证明及显露出的智慧。J（x）的表达式是我们碰到的黎曼那篇论文中的结果超前于时代的第一个例子，在第5章中我们将遇到其他例子。 在一代代的后世数学家们为那些被黎曼省略掉的证明而失眠的时候，他们中的一些人也许会联想到费马（Pierre de Fermat，1601—1665）。这位法国数学家在古希腊数学家丢番图（Diophantus，2007—2847）的《算术））（Arithmetiea）一书的页边上写下著名的费马猜想（Fermat's conjecture）的时候，随手加了一句话：“我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来”。令人尴尬的是，费马猜想自1670年被他儿子公诸于世（那时他本人已经去世）以来，竟然难倒了整个数学界长达324年之久，直到l994年才被英国数学家怀尔斯（Andrew Wiles，1953—）所证明。但怀尔斯的证明篇幅浩繁，莫说在《算术》一书的页边上写不下来，即便把整套《大英百科全书》（Encyclopedia Britannica）的页边加起来，也未必写得下来。现在人们普遍认为，费马并没有找到费马猜想的证明，他自以为找到的那个“真正出色的证明”只是三百多年间无数个错误证明中的一个。那么黎曼的情形会不会也像费马一样呢？他那些省略掉的证明会不会也像费马的那个“真正出色的证明”一样呢？从目前人们对黎曼的研究来看，答案基本上是否定的。黎曼作为堪与高斯齐名的有史以来最伟大的数学家之一，他的水平远非以律师为主业的“票友”型数学家费马可比。而且人们在对黎曼的部分手稿进行研究时发现，黎曼对自己论文中的许多语焉不详的命题是做过扎实的演算和证明的，只不过他和高斯一样追求完美，发表的东西远远少于自己研究过的。更令人钦佩的是，黎曼手稿中的一些演算和证明哪怕是时隔了几十年之后才被整理出来，也往往还是大大超越当时数学界的水平（其中一个典型的例子可参阅第10章）。因此我们有较强的理由相信，黎曼在论文中以陈述而不是猜测的语气所表述的内容——无论有没有给出证明——都是有着深入的演算和证明背景的。
真的非常喜欢这个系列，感觉确实好看。记得2010年春节我一口气把此系列当时有的都看完，绝对是那个春节最美好的回忆！ ——sfman 极好的数学科普文章！热烈鼓掌！ ——来自134.94的游客 黎曼猜想漫谈系列是昌海兄最值得出版的系列文章之一。 ——星空浩淼 這一系列的文章實在精彩，看得非常過癮 ——来自140.109的游客 很喜欢昌海兄的写作态度和行文风格，有量更有质。看这个黎曼猜想的系列也很久了，真是对数学中的东西开了眼界，呵呵。 ——woodswan 这一系列真的写的很不错。出版了一定要收藏一本。 ——胡一指 向卢老师致以最诚挚的谢意——黎曼猜想漫谈是我数学博士期间读过的最难忘的数学书。 ——来自218.75的游客 一个字：好！ 两个字：很好！ 三个字：非常好！ ——dfj 很精彩，读者可以了解历史上科学家们的不懈探索和惊人才智。感谢作者源源不断地提供通俗易懂的高质量科普。 ——来自216.165的游客 作为一名在校计算机专业学生，很少能这么专心的读下去。感谢博主的文章，把数学的美丽展现给我这样的平常人。谢谢！ ——来自61.135的游客 不知该鼓掌还是该流泪，只觉得就这么结束了……怅然若失啊！ ——往事如昨
《黎曼猜想漫谈》关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，《黎曼猜想漫谈》是一本很好的雅俗共赏的数学科普图书。
真的非常喜欢这个系列，感觉确实好看。记得2010年春节我一口气把此系列当时有的都看完，绝对是那个春节最美好的回忆！ ——sfman 极好的数学科普文章！热烈鼓掌！ ——来自134.94的游客 黎曼猜想漫谈系列是昌海兄最值得出版的系列文章之一。 ——星空浩淼 这一系列的文章实在精彩，看得非常过瘾。 ——来自140.109的游客 很喜欢昌海兄的写作态度和行文风格，有量更有质。看这个黎曼 猜想的系列也很久了，真是对数学中的东西开了眼界，呵呵。 ——woodswan 这一系列真的写得很不错。出版了一定要收藏一本。 ——胡一指 向卢老师致以最诚挚的谢意——《黎曼猜想漫谈》是我数学博士期间读过的最难忘的数学书。 ——来自218.75的游客 一个字：好！ 两个字：很好！ 三个字：非常好！ ——dfj 很精彩，读者可以了解历史上科学家们的不懈探索和惊人才智。 感谢作者源源不断地提供通俗易懂的高质量科普。 ——来自216.165的游客 作为一名在校计算机专业学生，很少能这么专心地读下去。感谢博主的文章，把数学的美丽展现给我这样的平常人。谢谢！ ——来自61.135的游客 不知该鼓掌还是该流泪，只觉得就这么结束了……怅然若失啊！ ——往事如昨
无
黎曼猜想是数学界目前最重要的猜想之一，其难度可想而知。这么高深的一个数学猜想，作者竟然用很通俗的语言娓娓道来，而且没有错误!这本书可以看作国内数学科普的模板了！作者卢昌海是物理学博士更加不可思议了吧，该文先后在网上和香港主办的一本数学杂志《数学文化》上发表过，取得了不错的反响！著名数学家王元更是为之作序。可见这本书的受欢迎程度。推荐读者读一下此书，你会发现数学和数学家是很有趣的。
《黎曼猜想漫谈》写得非常好，属于真正的高端科普读物，对于喜爱数理科学的人而言，读起来是一种享受。尽管本人过去看过电子版，但老早就盼着出纸质版，因此纸质版一出，我就毫不犹豫地订了一本
对黎曼猜想讲的很仔细，大有补益。
不像其他一些科普读物只介绍历史不介绍真正的科学，这本书历史与知识并重，既适合闲读，也适合我这样对数学很感兴趣的爱好者读
这是一本数学专业的科普书，比较深，需要高等数学的知识。
这是一本通俗易懂的数学科普书
非常经典的数学科普，收藏了
之前在作者的博客上读过一部分，这次买了书从头到尾看了一遍。虽然我不是学数学的，书里的很多内容并不太懂，但仍然感受到了数学的美，感谢作者写了如此精彩的一本书。
好一本科普 有点难 王元赞
还在读，感觉自己数学知识不够，不过内容构思方面还是很不错的一本书的。
书的质量非常好，快递送货速度也很快，服务态度也很好。内容挺好的，适合数学系以及对数学有很大兴趣的人看。
刚拿到书，看起来很不错，内容还没看，略微翻了一下，很深奥，我的数学功底不好，要是能以此对数学感兴趣也是一件好事，毕竟想聪明学数学嘛，哈哈，书本装订精美，纸质不错，是本好书，当当发货也很快，很信赖当当，好评！
需要一定的数学基础，复变函数学得很久都忘了
大师，不愧为数学精英，我的偶像。
极好的科普著作，写的深入浅出，卓尔不群，非常认真的写作
内容当然是喜欢的，印刷、纸张也不错。并且数学书的价格应该还是比较便宜的
以前在网上看过一些，现在还是忍不住买实体了。不过写的跟网上有所不同了呢。是一部高级科普～值得收藏
这个是数学殿堂中的王冠上的宝石的NO.1吗
对数学感兴趣可以一看
难得再进入数学的海洋
浅显的道理，深刻的内涵，需要一定的数学功底
每个对数论有兴趣的人，应该具有的科普书
一本不错的科普书，需要有一定相关的知识储备。
书有趣很好看，我个人很喜欢。（只是作者面对的读者群好像要专业性更强，因为动不动就说“请读者自行证明”啥的）
如果在学术的海洋中偶感乏味、孤独，推荐阅读此书。诙谐的风格会让你身心放松，而严谨专业的内容也可让读者尽情享受。
当当送书还是挺快的，书的质量也不错！这本书期待了很久~！
很好的课外读物 增加知识面了
大师之作。很好的书，值得一读
快递很快，书的质量不错，当然书的内容写的更是精彩。
挺好的，适合大部分人读！
这本书深入浅出，其中的哲理发人深省，值得推荐。
从2008年开始跟读这个系列，读过多次，感觉DIY零点那一章最有意思。买一本来收藏！！
写的很好，可以读一下
非常好的 书啊~~~~~~~~~
一直喜欢的作者，值得收藏
相当高深
书的内容很好，很喜欢。虽然有点难，不过看了之后收获很大。快递也挺给力的。
够专业哈，必须专业，
不是一般人能读懂的书
开阔了思路，增长了知识，是一本好书
看起来并不是很容易，但是是一本好书。
还没看……
不忍掩卷
good-hao
书的质量不错，寒假看的。
需要细心去看
送的及时，书不错！
非常好看，适合大学生看，很有启发意义。
好难啊！
据说很是不错，刚刚看了一点，感觉还行
帮别人哦买的
数学是美好的，攀登是艰难的，具有一定高等数学基础的人可以深度，没有数学基础的人可以当作课外读物增长知识，还不错，就是可能很多人读了不知道这个黎曼猜想有什么用，呵呵，其实很多数学证明的作用都用在很高深的金融、物理建模上，有的甚至要很多年以后才能实用，这也是她完美神秘之处
漫谈的事黎曼猜想，展示的是科普作品写作方式的猜想。
不错的数学科普著作
科普读物，可以看看！
小约翰纳什老年时期试图解决的问题
比较深入浅出，还不错的一本书籍！
继欧氏几何之后的大家之作！！！
春天不是读书天，我却买了这本。虽然有点薄，但还是寄予期望
一般吧，还哦好
好的科普书少，好的数学科普书更少。这本书很不错了。尽管和《浪潮之巅》还有距离。
对于不是数学专业的，有点深
科普读物要让非专业人士看得懂才是成功的好读物
本以为是本最基础的科普,买来一看完全不懂
貌似是一个中国物理学家写的，有些东西我也是头一回知道，对于一个科普类书，即使专业人士看了也不虚此行。
说好的浅显易懂呢 真的好努力去看 但是没看懂 里面是有故事 但公式一出来 什么意思完全不懂... 只学到高数的表示力不从心
好的科普书，很喜欢。
大问题，简洁描述，精彩！
不光有趣，还很清晰，更重要的，还激动人心。
但里面的数学，看不懂。翻了翻。
作者很用心，老少皆宜
卢先生的文笔和学术水平自然不用说，但是这本书应该说是高级科普。具有大学数学本科水平的人基本可以读懂，里面数学公式比较抽象，而且很多符号比较晦涩难懂。如果你学过数学和物理强烈建议你读一读会受益匪浅。这是七个千年数学问题中的一个，可能是最难得一个吧。
１．此书极好！难得见到中文作家写的黎曼假设的科普……卢先生文笔流畅；内容深入浅出，生动有趣！２．此书对数学的要求并不高，具有一定的复分析和初等数沦的读者皆可轻松阅读此书，并沉醉于其中！３．书中的代序是王元先生的读后感，此亦可见此书的水准颇高．... 阅读更多
原以为是通俗易懂的那类，谁知拿到手后才发现看不懂。本书属于专业科普，提醒门外汉们注意，如果不是学这个的，最好不要买。
此书需冷静
喜欢学数学
还好，内容
喜欢数学的看看
非常不科普的科普
黎曼猜想漫谈
有无追加评价和修改评价呢？
这本书的妙处是，适合广泛的读者群。有点理论基础和充沛脑力的，可以耐心研读琢磨；只想知道大概的，可以从那些妙趣横生的小故事里找到传奇；无论是理性的还是感性的人，都能领略到数学的美和神奇。
因为失眠决定睡前读这本书。结果是从普通失眠直接变成严重失眠。很惭愧四年数学系读到的知识几乎完璧归赵，不得不放弃汉王，抱着电脑一边google公式名词一边连滚带爬的往下看；而另一方面，费几十分钟咀嚼短短几行公式、符号，读着作者的讲解，从一头雾水到终于能领悟精妙之处，真是忍不住为之拍案叫绝！时不时一点语言生动的小段子，无论是昂贵的赌约，还是奇妙的tea time偶遇，轻松之余也为看似枯燥的数学史料平添了无数妙趣横生～～
即使这样，我也就把精读坚持了七天；因为缺觉而头痛，因为烦躁而厌倦，疲惫的大脑还是忍无可忍的顺从了懒惰的天性，开始了大段大段的跳读。。。
数学真的是很美的。也终究是需要天赋的。即使只是浅尝辄止的观赏。
或者说，这是能让我相信上帝必须存在的一门学问——否则我无法说服自己，如此抽象的一门学问，却能勾搭到世界的方方面面；如此简单的语言，却以最丰富的内涵击败无数代最天才的学者。她简直就是用来鄙视人类的渺小与狭隘的。
没天理啊。。。
大部分人，碌碌一生，也许擦肩而过都算不上，又何尝能领会到她的神奇和美妙？？而像我这种庸才，磕磕绊绊“匍伏”过本科四年数学学习（恩，本人有自知之明，在数学这个大坑里，我从来没能“站立行走”过。。。），所能收获的，也不过是一点点孱弱能力，让我能勉强领会到数学瑰丽、耀眼的光芒。
我是在科学松鼠会看到这个系列文章的，但是从系列（5）看的，如果你不是数学专业的，从中间看肯定会放弃。但由于我长期关注卢昌海先生的博客，所以有很多亲近感。从系列（一）到（二十）都看了。
如果你看不懂里面的数学描述，其他部分的内容也足够抓住你的心，你能看到百年间全世界的精英数学家一步步逼近最后的证明。虽然在松鼠会上有正文的完整版，但注释因为格式问题是有错误的，强烈推荐对科学有认同感的兄弟们买纸质版。
系列（一）从英国和欧洲数学界因微积分创始人的矛盾开始介绍黎曼猜想是什么。并引出黎曼函数非平凡零点和素数分布的扣子。
系列（二）介绍了素数定理的猜想过程，让我们知道了素数分布和黎曼函数非平凡零点分布的关系紧密。
系列（三）黎曼获得了柏林科学院通信院士，作为回报他写了一篇只有8页的论文，这篇论文中他比Euler对素数的分布走的更远，文章中有很多省略的证明在几十年后整理出来都仍然大大超越当时数学界的水平，而且很多线索都可以让人相信黎曼自己是知道正确证明过程的，只是没有正式发表。这篇论文一出，研究素数分布的基本思路就已经打开了。
系列（四）借助一个辅助函数来研究黎曼函数的零点，因为辅助函数的零点和黎曼函数的非平凡零点重合，以此把黎曼函数的非平凡零点找出（0≤Re(s)≤1），在论文中黎曼提出了3个命题，这三个命题第一个证明出现在46年之后，第二个命题已经过了150多年，还未有人给出比这条结论更强的结果，第三个命题就是黎曼猜想了。这篇文章黎曼给出了素数分布的精确规律。
其他内容大家买回去看吧，很精彩
《Riemann猜想漫谈》大概是中文网络上流布最广的数学科普。四五年前读到这个系列的时候，还无法理解许多数学细节，却恍惚对pour la gloire de L'esprit humain有所憬悟。后来我才意识到，熟习某种技能是一件水滴石穿的事，而支撑一个人常年进行“枯燥”练习的原动力往往来自这样的时刻：在举起凿齿之前，工匠就看到了隐藏在木料中的眉眼，并为那种美所深深震撼。
RH的故事很有趣：无双谱上既有Hardy这样一心追逐圣杯的忧郁骑士，也有Bombieri和Zagier这样“学术赌徒”(让人想到逢赌必输的Hawking)，而价值一亿个零点/七十万美元的两瓶葡萄酒，几乎堪与“斗酒博凉州”相提并论，载入《世说新语》了。如此丰富的八卦一经点染，更显得趣味横生。就这个意义上说，科普和武侠小说具有同样的美德：即使是手无缚鸡之力的读者也大可随主角横行江湖，风波跌宕，行到刀光剑影交织处，“叫声好，不知高低”。
不过对于好的科普作品来说，“有趣”必要却不充分，《Riemann猜想漫谈》胜在“严肃”——归根结底，RH仍扎根在数学中，避开解析延拓、函数方程是不可能的。好在卢兄是科班出身——我甚至以为理论物理背景比纯数学背景更适合讨论解析数论，因为二战之后“公式数学”的地位一落千丈，许多领域(例如代数几何和代数数论)趋于抽象，已难得见到大篇幅的计算和估计了——这保证了《漫谈》在基本结果上的不苟。“一条公式吓跑一半读者”的一个反例：《漫谈》介绍了zeta函数的第一积分表示(解析延拓)、第二积分表示(函数方程)和第三积分表示(Riemann-Siegel公式，零点计算)，讨论了RH和素数定理的关系(Hadamard, Vallée-Poussin)，“围捕”零点的努力(解析方法：Bohr-Laudau, Hardy-Littlewood, Selberg, Levinson, Conrey, etc.；数值计算：Turing, Lehmer, te Riele, ZetaGrid, etc.)以及和量子物理的神秘联系(Hilbert-Pólya, Montgomery-Odlyzko, Connes, etc.)，却仍然大受欢迎。而这样严肃的努力大概也是王元院士愿意拨冗作序的原因吧。
系列的最后几篇是在多年中断后补充完成的，主要介绍数域上的Dedekind Zeta和有限域上代数簇的Weil conjecture. 诚实地说，我认为这部分内容和之前的讨论水准有明显的落差。上面已经提到了一个原因：在对RH的现代研究中，解析方法已不再占据中心地位，而新兴的算术几何恐怕不是卢兄熟悉的领域。当然，希望一篇科普作品深入到当今的前沿，讨论诸如算术概型，算术Zeta，Birch and Swinnerton-Dyer conjecture乃至Langlands corresponce已肯定是一种奢望。而在接受白璧微瑕的遗憾之余，作为读者，更重要的应该是享受这道精彩的科普宴席吧。
作者的水平还不足以写出既生动有严谨的科普，作者的数学水平，显然，连我都不如。归根到底，好的数学科普都是伟大的数学家完成的，只可惜伟大的数学家一般都比较忙，没有时间写科普。
你觉得作者的科普写得好，本质上是你的数学境界还不够高。希望你再接再厉，努力学习，前途未可限量。
好的数学科普都是伟大的数学家完成的---求推荐，真不知道大数学家也写科普的。
得到烟花的鼓励，哎，今晚要激动的睡不着了。。。
http://www.douban.com/note/227346029/