2013中公版数学学科知识与教学能力高级中学

2012-7  

世界图书出版公司北京公司  

中公教育教师资格考试研究院  

217  

278000  

无  

　　★最新大纲，权威导向★
　　教师资格考试改革后，市面上的一些考试教材已经无法全面应对考试。本系列图书根据国家教师资格考试最新大纲精心编写，为了给考生提供最有价值的学习材料，本书的编写汇集众多业界教育专家的心血，权威引领考试的方向。
　　★内容完备，体系健全★
　　教师资格考试专用教材以笔试和面试为经纬线，结合幼儿园、小学、初级中学、高级中学不同学段的特点，架构起包括《综合素质（幼儿园）》、《保教知识与能力》、《综合素质（小学）》、《教育教学知识与能力》、《综合素质（中学）》、《教育知识与能力》及初级中学和高级中学各专业课的笔试教材和《幼儿园面试一本通》、《小学面试一本通》、《中学面试一本通》的面试教材有机结合的庞大体系。
　　★清晰透彻，深入浅出★
　　本系列书在深入把握考生备考需求的基础上，追求讲解清晰透彻、实用高效。从最基本、最重要的知识点入手，深入浅出地向考生讲解各个知识点，使考生对知识点有足够透彻的印象和理解，使知识点烂熟于心。
　　★结合案例，契合考情★
　　改革后的教师资格考试注重对教师的教育教学实践能力、模拟情境处理能力及案例分析能力的考查。本系列教材根据这一考试趋势，在理论讲述的同时结合当前教育教学改革中的典型案例，帮助考生增强对理论的进一步认识和理解。
　　★拓展阅读，开阔视野★
　　本系列教材在系统讲述知识的基础上，追求对考生的深入启发，通过设置相应的拓展阅读，以达到开阔视野、丰富理论的效果。

中公教育教师资格考试研究院

前言
《数学学科知识与教学能力》高级中学考试大纲
第一部分　学科知识
第一章　高等数学基础知识
第一节　数列极限与函数极限
一、极限的定义
二、极限的基本性质与两个重要极限
三、极限存在性的判定
四、求极限的方法
第二节　连续函数
一、连续性概念
二、函数连续性的判断
三、连续函数的性质
第三节　一元函数微积分
一、导数的概念
二、导数的应用
三、不定积分
四、定积分
五、定积分与不定积分的计算
第四节　向量及其运算
一、平面向量
二、空间向量
第五节　矩阵与变换
一、矩阵的概念
二、矩阵的运算
三、矩阵的初等变换
第六节　概率与数理统计基础
一、概率基础知识
二、数理统计基础知识
第二章 高中数学知识分析
第一节　必修课程——数学
一、集合
二、函数概念与基本初等函数
三、函数应用
第二节　必修课程——数学
一、立体几何初步
二、平面解析几何初步
第三节　必修课程——数学
一、算法初步
二、统计
三、概率
第四节　必修课程——数学
一、三角函数
二、向量
三、三角恒等变换
第五节　必修课程——数学
一、解三角形
二、数列
　三、不等式
第六节　其他选修内容
一、选修课程——系列
二、选修课程——系列
三、选修课程——系列３数学史选讲
四、选修课程——系列４几何证明选讲
五、选修课程——系列４矩阵与变换
六、选修课程——系列４坐标系与参数方程
七、选修课程——系列４不等式选讲
第二部分　课程知识
第一章　高中数学课程概述
第一节　高中数学的课程理念
一、高中数学增加了选择性
二、让学生成为学习的主人
三、提高学生数学应用意识
四、强调培养学生的创新意识
五、注重数学基础知识和基本技能
六、强调数学的文化价值
第二节　高中数学的课程目标
一、过程与方法
二、五大基本能力
第二章　高中数学的课程结构
第一节　函数主线
一、对函数的认识
二、中学数学研究函数的什么性质
三、具体函数模型
四、函数与其他内容的联系
第二节　运算主线
一、对运算的认识
二、运算的作用
三、运算内容的设计
第三节　几何主线
一、几何的教育功能
二、中学几何研究的对象
三、几何研究图形的方法
四、几何内容的设计
第四节　算法主线
一、算法的作用
二、算法的基本思想
三、算法的基本结构
四、算法的基本语句
五、算法内容的设计
第五节　统计概率主线
第六节　应用主线
一、对应用的认识
二、应用的层次
第三部分　教学知识
第一章　概念教学
第一节　数学概念概述
一、数学概念的意义和结构
二、概念间的逻辑关系
第二节　概念的定义与划分
一、概念的定义
二、概念的划分
第三节　概念的教学
第二章　命题教学
第一节　数学命题概述
一、数学命题的意义
二、命题的四种基本形式及关系
第二节　数学命题的教学
一、注重过程
二、注意变式
三、形成命题体系
四、加强命题应用
第三章　推理教学
第一节　形式逻辑的基本规律
一、同一律
二、矛盾律
三、排中律
四、充足理由律
第二节　数学推理
一、推理的结构
二、推理的形式
第四章　数学思想方法的教学
第一节　数学思想方法概述
一、数学思想方法的认识
二、中学数学中的基本数学思想方法
第二节　中学数学基本思想方法教学原则
一、目标性原则
二、渗透性原则
三、层次性原则
四、概括性原则
五、实践性原则
第四部分　教学技能
第一章　教学设计
第一节　中学数学课堂教学设计概述
一、数学课堂教学设计的内涵
二、数学课堂教学设计的意义
第二节　中学数学课堂教学设计的基本内容
一、教材分析
二、学情分析
三、制定教学目标
四、考虑教学方法
五、教学媒体的使用
六、教学实施过程分析
七、教学反思
八、教学设计的撰写
第二章　教学实施
第一节　中学课堂导入技能
一、直接导入法
二、复习导入法
三、事例导入法
四、趣味导入法
五、悬念导入法
第二节　中学课堂语言技能
一、数学课堂语言的原则
二、数学课堂语言技能结构要素
三、数学课堂语言的类型
四、中学课堂语音技能
五、中学课堂体态语言运用技能
第三节　中学课堂板书技能
一、板书的主要作用
二、板书的类型与要求
第四节　中学课堂提问技能
一、课堂提问的原则
二、课堂提问的类型
第五节　中学课堂组织管理技能
一、数学课堂教学组织管理原则
二、数学课堂教学组织要求
三、数学课堂教学组织管理方式
第六节　中学课堂反馈与强化技能
一、反馈的主要方法
二、强化的基本技能
第三章　教学评价
第一节　数学教学评价概述
一、数学教学评价的功能
二、数学教学评价的原则
三、数学教学评价的类型
四、数学教学评价的要素
第二节　数学课堂教学评价方法
一、观察法
二、访谈法
三、问卷法
第三节　学生数学学习评价的方法
一、测验法
二、观察法
三、其他方法
四、成长记录袋
2012年试点省市教师资格证考试笔试、面试课程
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无

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相对来说，中公书的内容排版不错，但还不够详细，需要借助更多的资料。。。但整体还是不错的。。。

很好，数学考试专用~

买了三本，有一本里面两页破了。。。

感觉作者很用心的编辑了，不过有些大学的东西全当参考

还不错的一本书，知识点全面，希望对自己有帮助哦。

知识点很详细，就是感觉纸质一般，书好轻~~

书有点旧。。。。。。。。。。。。。。

　　一、极限的定义
　　定义1：■ xn = A： ?坌?着 ＞ 0，?埚正整数N，当n ＞ N时，有xn - A＜ ?着 。
　　若xn存在极限（有限数），又称xn收敛，否则称xn发散。
　　定义2：■ f（x） = A： ?坌?着 ＞ 0，?埚正数X，当x ＞ X时，有f（x） - A＜ ?着 。
　　类似可定义：■ f（x） = A， ■ f（x） = A。
　　定义3：■ f（x） = A： ?坌?着 ＞ 0，?埚正数δ，当0 ＜ x - x0＜ δ时，有f（x） - A＜ ?着 。
　　类似可定义f（x） 当x → x0时右极限与左极限：
　　 f（x0 + 0） = ■ f（x） = A， f（x0 - 0） =■ f（x） = A。
　　二、极限的基本性质与两个重要极限
　　（一）数列极限的基本性质
　　性质1：（极限的不等式性质） 设 ■xn = a， ■yn = b，
　　若a ＞ b，则?埚N，当n ＞ N时，xn ＞ yn； 若n ＞ N时，xn ≥ yn，则a ≥ b。
　　性质2：（收敛数列的有界性） 设xn收敛，则xn有界（即?埚常数M ＞ 0，xn≤M，n = 1，2，…）。
　　（二）函数极限的基本性质
　　性质1：（极限的不等式性质） 设■ f（x） = A， ■g（x） = B，
　　若A ＞ B，则?埚δ ＞ 0，当0 ＜ x - x0 ＜ δ时， f（x） ＞ g（x）；
　　若f（x） ≥ g（x） （0 ＜ x - x0 ＜ δ），则A≥B。
　　【推论】（极限的保号性） 设 ■f（x）=A，若A ＞ 0 ?圯?埚δ ＞ 0，当0 ＜ x - x0＜ δ时， f（x）＞0；若
　　f（x） ≥ 0 （0 ＜ x - x0＜ δ） ?圯 A ≥ 0。
　　性质2：（存在极限的函数局部有界性） 设存在极限■f（x） = A，则f（x）在x0的某空心邻域
　　U0（x0，δ） = x | 0 ＜ x - x■ ＜ δ内有界，即?埚δ ＞ 0，M ＞ 0，使得0 ＜ x - x0 ＜ δ时， f（x）≤M。
　　（三）两个重要极限
　　■■ = 1， ■（1 + ■）x = e （■（1 + x）■ = e， ■■ = 1） （1.1）
　　例题1：判断下列结论是否正确，并证明你的判断。
　　（Ⅰ）若xn ＜ yn（n ＞ N），又存在极限■xn = A， ■yn = B，则A ＜ B；
　　（Ⅱ）设f（x）定义在（a，b），又c∈（a，b），并存在极限■f（x） = A，则f（x）在（a，b）有界；
　　（Ⅲ）若■f（x） = ∞ ，则?埚δ ＞ 0，当0 ＜ x - a ＜ δ时，■有界。
　　解析：（Ⅰ）不正确。在题设下只能保证A ≤ B，不能保证A ＜ B。例如，xn = ■，yn = ■，则xn ＜ yn，而■xn = ■yn = 0。
　　【注】 对不等式xn ＜ yn （n ＞ N）两边取极限时（以极限存在为前提），除保持不等号外还要带上等号，即 ■xn ≤ ■yn 。
　　（Ⅱ）不正确。这时只能保证：?埚c的一个空心领域U0（c，δ） = x | 0 ＜ x - c ＜ δ，f（x）在U0（c，δ）有界，不能保证f（x）在（a，b）有界。例如，f（x） = ■，（a，b） = （0，1），取c∈（0，1），则■f（x） = ■，但f（x） = ■在（0，1）无界。
　　（Ⅲ）正确。因为■f（x） = ∞ ?圯 ■■ = 0，由存在极限的函数的局部有界性?圯?埚δ ＞ 0，当0 ＜ x - a ＜ δ时，■有界。
　　三、极限存在性的判定
　　（一）夹逼定理
　　（数列情形） 若?埚N，当n ＞ N时，yn ≤ xn ≤ zn，且有■yn = ■zn = a，则■xn = a。
　　（函数情形） 设?埚δ ＞ 0，0 ＜ x - x0 ＜ δ 时，h（x） ≤ f（x） ≤ g（x），又■h（x） = ■g（x） = A，则 ■f（x） = A 。
　　【注】 其他极限过程也有类似的结论。
　　（二）单调有界数列必收敛定理
　　若数列xn单调递增有上界，即xn+1 ≥ xn （n = 1，2，…），并存在一个数M，使得对一切的n有xn ≤ M，则xn收敛。 即存在一个数a，使得■xn = a 且有xn≤a （n=1，2……）。
　　（三）单侧极限与双侧极限的关系
　　■f（x） = A ?圳 ■f（x） = ■f（x） =A。
　　对于分段函数f（x） =ｇ（ｘ）， ｘ０－δ＜ｘ＜ｘ０，ｈ（ｘ）， ｘ０＜ｘ＜ｘ０+δ，考察■f（x） 是否存在，就要分别求 ■f（x） = ■h（x） 与 ■f（x） = ■ ｇ（ｘ）。
　　例题2：设f（x）=2（ｘ+1）arctan■，ｘ＞0，1， ｘ＞0，■， ｘ＜0，问a为何值时■f（x）存在。
　　【分析】分别求右、左极限 f（0+0）与 f（0-0），由 f（0+0）= f（0-0），定出a值。
　　解析： f（0+0）=■f（x） =■2（x+1）arctan■=2 ■arctan■=π， f（0-0）= ■f（x）=■■·■=1·a·1=a（a≠0）， f（0-0）=0（a=0）。
　　由f（0+0）= f（0-0），得a=π。因此，仅当a=π时，存在■f（x）=π。
　　例题3：■（ｘ-1）2e■是（ ）。
　　A.0 B.-∞ C.+∞ D.不存在但不是∞
　　【分析】因■et=+∞，■et=0，故要分虽考察左、右极限。由于■（ｘ-1）2e■■■■=+∞，■（ｘ-1）2e■■ ■■=0，因此选D。
　　四、求极限的方法
　　求极限的方法很多，以下结合例题介绍几种常用的、简单的求极限的方法。
　　（一）利用变量替换法与两个重要极限
　　例题4：求w = ■ｘ2（3■-3■）。
　　解析：先改写成
　　w = ■■·3■（3■-1）x（x+1）。
　　作变量替换，令t = 3■-1，则x→∞时t→0且x（x+1）=■，于是
　　w = ■■· ■3■· ■■·１ｎ３=１ｎ３。
　　例题5：求w = ■（■+2■）x。
　　解析：这是1∞型极限，改写成w = ■2（1+■2■）x ·2■2■=2e。
　　（二）利用等价无穷小因子替换
　　若x→a时，无穷小?琢（x）~?琢*（x）， β（x）~β*（x），（即 ■■=1， ■■=1），则■■=■■。（等式两边其中之一极限存在或为∞，则另一也是且相等）。
　　例题6：求下列极限：
　　（1） w = ■■；（2） w = ■■。
　　解析：（1）注意x→0时，1-cos（x■）~■x2（1-cosx）~■x4，e■-1~x4，?圯w = ■■=4。
　　【注】设x→a时，α ~β，β~γ ?圯 α~γ（x→a）
　　（2）因为（■）2x-1~1n（■）2x-1+1=2xln（1+■）~2x·■~x·（-■x2）=-■x3（x→0），ln（1+2x3）~2x3（x→0），所以w = ■■= ■■=-■。
　　（三）利用洛必达法则
　　例题7：求w = ■■。
　　解析：先作恒等变形
　　w = ■■，然后用等价无穷小因子替换：x→0时
　　sin3x~x3，ln（1+■）~■~x2-sin2x，
　　于是w = ■■= ■■· ■■=2·■■。
　　最后用洛必达法则得
　　w = 2■■=■·■=■。
　　（四）分别求左右极限的函数极限
　　例题8：求下列极限■ f（x）：
　　 f（x）=■arctan■。
　　解析：注意■e■=+∞，■arctan■=■；■e■=0，■arctan■=-■。则■f（x）=■■·■arctan■=1·■=■，■f（x）=■■·■arctan■=（-1）·（-■）=■。因此，■ f（x）=■。
　　（五）利用夹逼法
　　用夹逼定理求极限■xn，就是要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn，要想成功，必须是极限■yn与■zn会求且相等。
　　例题9：求数列极限：
　　（1）■■； （２）设■ｘｎ＝２，求■■。
　　解析：（１）由于０＜■＝■≤■■＝■·■，又■■·■＝０，于是■■＝０。
　　（２）由于ｘｎ→2，故?埚N，当ｎ＞N时，0＜ｘｎ＜3，于是0＜■＜■。又■■=0，则■■=0。
　　【注】a.类似于题（1）可证■■=0（b为常数）。
　　b.求极限的方法还有①利用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限；②利用函数的连续性；③利用定积分求n项和式极限；④利用泰勒公式等，篇幅所限，此处不再讲述。
　　
　　
　　■
　　
　　一、连续性概念
　　1.若■f（x）=f（x0），称f（x）在x0连续。
　　2.若■f（x）=f（x0）（■f（x）=f（x0）），称f（x）在x=x0右（左）连续。
　　3.若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内任一点均连续，称ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内连续。
　　4.若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）连续，在x=ａ右连续，在x=ｂ左连续，称ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上连续。
　　（单双侧连续性的关系）ｆ（ｘ）在x0连续?圳ｆ（ｘ）在x0既左连续又右连续。
　　二、函数连续性的判断
　　1°若是初等函数，则在它的定义域区间上处处连续。
　　2°用连续性运算法则。
　　3°分别判断左右连续性或按定义来判断。
　　（连续性运算法则）
　　（1）（连续性的四则运算法则）设ｆ（ｘ）， g（ｘ）在x0连续，则ｆ（ｘ）± g（ｘ），ｆ（ｘ）· g（ｘ），ｆ（ｘ）/ g（ｘ）（g（x0）≠0）在x0也连续。
　　（2）（复合函数的连续性）设u＝?渍（ｘ）在ｘ=x0连续，y=ｆ（u）在u=u0（u0=?渍（x0））连续，则ｆ（?渍（x））在ｘ=x0连续。
　　（3）（反函数的连续性）设y=ｆ（ｘ）在区间Ix上单调且连续，则反函数ｘ=?渍（y）也在对应的区间Iy=y∣y=ｆ（ｘ），x∈Ix上连续且有相同的单调性。
　　【注】若按定义判断连续性或间断点类型，则是求极限问题。
　　例题10：
　　设ｆ（ｘ）=■■，
　　（Ⅰ）若ｆ（ｘ）处处连续，求ａ，ｂ值；
　　（Ⅱ）若（ａ，ｂ）不是求出的值时， ｆ（ｘ）有何间断点，并指出它的类型。
　　【分析与求解】（Ⅰ）首先求出ｆ（ｘ），注意到
　　■ｘ2n=∞, x＞1,1, x=1,0, x＜1, 要分段求出ｆ（ｘ）。
　　当x＞1时， ｆ（ｘ）=■■=■;
　　当x＜1时， ｆ（ｘ）=■■=ax2+bx。
　　于是得ｆ（ｘ）=■, x＞1,■（a+b+1）, x=1,■（a-b-1）, x=-1,ax2+bx, x＜1。
　　其次，由初等函数的连续性，当x＞1，x＜1时ｆ（ｘ）分别与初等函数相等，故连续。最后，只须考察分段函数的连接点x=±1处的连续性，这就要按定义考察连续性，分别计算
　　■ｆ（ｘ）=■■=1, ■ｆ（ｘ）=■(ax2+bx)=a+b，
　　■ｆ（ｘ）=■(ax2+bx)=a-b， ■ｆ（ｘ）=■■=-1；
　　ｆ（ｘ）在x=1连续?圳ｆ（1+0）=ｆ（1-0）=ｆ（1）?圳a+b=1=■（a+b+1）
　　 ?圳a+b=1；
　　ｆ（ｘ）在x=-1连续?圳ｆ（-1+0）=ｆ（-1-0）=ｆ（-1）?圳a-b=-1=■（a-b-1）
　　 ?圳a-b=-1。
　　因此ｆ（ｘ）在x=±1均连续?圳a+b=1a-b=-1?圳a=0，b=1。仅当a=0，b=1时ｆ（ｘ）处处连续。
　　
　　（Ⅱ）当（a，b）≠（0，1）时，若a+b=1（则a-b≠-1），则x=1是连续点，只有x=-1是第一类间断点；若a-b=-1（则a+b≠1），则x=-1是连续点，只有间断点x=1，且是第一类间断点；若a-b≠-1且a+b≠1，则x=1，x=-1均是第一类间断点。
　　三、连续函数的性质
　　性质1：设ｆ（ｘ）在x=x0连续， ｆ（x0）＞0，则?埚δ＞0，当x-x0＜δ时， ｆ（x0）＞0。
　　性质2：（连续函数介值定理（中间值定理））设ｆ（ｘ）在a，b上连续， ｆ（a）≠ ｆ（b），则对 ｆ（a）与 ｆ（ｂ）之间的任何数η，则必定?埚ｃ（ａ＜ｃ＜ｂ），使得ｆ（ｃ）=η。
　　设ｆ（ｘ）在a，b上连续，又 ｆ（a）与 ｆ（b）异号，则?埚ｃ∈（a，b），使得ｆ（ｃ）=0（ｃ称为ｆ（ｘ）的零点）。
　　性质3：（有界闭区间上连续函数的有界性）设ｆ（ｘ）在a，b上连续，则ｆ（ｘ）在a，b有界，即存在常数M＞0，对任意x∈a，b，使得ｆ（ｘ）≤M。
　　性质4：（有界闭区间上连续函数存在最大、最小值）设ｆ（ｘ）在a，b上连续，则在a，b上必存在x1，x2，使得
　　ｆ（ｘ1）=■ ｆ（ｘ） （即?坌x∈a，b， ｆ（ｘ）≤ｆ（ｘ1）），
　　ｆ（ｘ2）=■ ｆ（ｘ） （即?坌x∈a，b， ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ2））。
　　
　　
　　■
　　
　　一、导数的概念
　　１．导数（导函数的简称）的定义：设ｘ０是函数ｙ＝ ｆ（ｘ）定义域内的一点，如果自变量ｘ在ｘ０处有增量Δｘ，则函数值ｙ也引起相应的增量Δｙ＝ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）；比值■＝■称为函数ｙ＝ ｆ（ｘ）在点ｘ０到ｘ０＋Δｘ之间的平均变化率；如果极限■■＝■■存在，则称函数ｙ＝ ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导，并把这个极限叫做ｙ＝ ｆ（ｘ）在ｘ０处的导数，记作ｆ ′（ｘ０）或ｙ′■，即ｆ ′（ｘ０）＝■■＝■■。
　　【注】①Δｘ是增量，我们也称为“改变量”，因为Δｘ可正，可负，但不为零。
　　②已知函数ｙ＝ ｆ（ｘ）定义域为Ａ，ｙ＝ ｆ ′（ｘ）的定义域为Ｂ，则Ａ与Ｂ关系为Ａ?勐Ｂ。
　　2．导数的几何意义：
　　函数ｙ＝ ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数的几何意义是曲线ｙ＝ ｆ（ｘ）在点（ｘ０， ｆ（ｘ０））处的切线的斜率。也就是说，曲线ｙ＝ ｆ（ｘ）在点（ｘ０， ｆ（ｘ０））处的切线的斜率是ｆ ′（ｘ０），切线方程为ｙ－ ｆ（ｘ０）＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）。
　　例题11：已知函数ｆ（ｘ）＝■（ｘ２＋１）（ｘ≤１），■（ｘ＋１）（ｘ＞１），判断ｆ（ｘ）在ｘ＝１处是否可导？
　　解析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据导数定义来判断是否可导。
　　■■＝■■＝１，
　　■■＝■■＝■，
　　故ｆ（ｘ）在ｘ＝１处不可导。
　　【点评】函数在某一点的导数，是一个极限值，即■■，Δｘ→０，包括Δｘ→０＋与Δｘ→０－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定分界点存在导数，否则不存在导数。
　　二、导数的应用
　　１．可导函数的极值
　　（１）极值的概念
　　设函数ｆ（ｘ）在点ｘ０附近有定义，且若对ｘ０附近的所有的点都有ｆ（ｘ）＜ ｆ（ｘ０）（或ｆ（ｘ）＞ ｆ（ｘ０）），则称ｆ（ｘ０）为函数ｆ（ｘ）的一个极大（小）值，称ｘ０为极大（小）值点。
　　（２）求可导函数ｆ（ｘ）极值的步骤：
　　①求导数ｆ ′（ｘ）；
　　②求方程ｆ ′（ｘ）＝０的根；
　　③检验ｆ ′（ｘ）在方程ｆ ′（ｘ）＝０的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数ｙ＝ ｆ（ｘ）在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数ｙ＝ ｆ（ｘ）在这个根处取得极小值。
　　２．函数的最大值和最小值
　　（１）设ｙ＝ ｆ（ｘ）是定义在区间［ａ，ｂ］上的函数，ｙ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内有导数，求函数ｙ＝ ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，可分两步进行：
　　①求ｙ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的极值；
　　②将ｙ＝ ｆ（ｘ）在各极值点的极值与ｆ（ａ）、 ｆ（ｂ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
　　（２）若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增，则ｆ（ａ）为函数的最小值， ｆ（ｂ）为函数的最大值；若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递减，则ｆ（ａ）为函数的最大值， ｆ（ｂ）为函数的最小值。
　　例题12：设工厂Ａ到铁路线的垂直距离为２０ｋｍ，垂足为Ｂ。铁路线上距离Ｂ为１００ｋｍ处有一原料供应站Ｃ，现要在铁路ＢＣ之间某处Ｄ修建一个原料中转车站，再由车站Ｄ向工厂A修一条公路。如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为３∶５，那么Ｄ应选在何处，才能使原料供应站Ｃ运货到工厂Ａ所需运费最省？
　　解析：设ＢＤ之间的距离为ｘｋｍ，则｜ＡＤ｜＝■，｜ＣＤ｜＝１００－ｘ。如果公路运费为ａ元／ｋｍ，那么铁路运费为■元／ｋｍ。故从原料供应站Ｃ途经中转站Ｄ到工厂Ａ所需总运费ｙ为：ｙ＝■（１００－ｘ）＋ａ■，（０≤ｘ≤１００）。对该式求导得，ｙ′＝■＋■＝■，令ｙ′＝０，即得２５ｘ２＝９（ｘ２＋４００），解得ｘ１＝１５，ｘ２＝－１５（不符合实际意义，舍去）。且ｘ１＝１５是函数ｙ在定义域内的唯一驻点，所以ｘ１＝１５是函数ｙ的极小值点，而且也是函数ｙ的最小值点。由此可知，车站Ｄ建于Ｂ，Ｃ之间并且与Ｂ相距１５ｋｍ处时，运费最省。
　　【点评】这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧。而运用导数知识，求复合函数的最值就变得非常简单。一般情况下，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数、简单的无理函数、简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值。由此也可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间。
　　三、不定积分
　　（一）基本概念
　　定义１ 如果在区间Ｉ上，可导函数Ｆ（ｘ）的导函数为ｆ（ｘ），即对任一ｘ∈Ｉ，都有
　　Ｆ′（ｘ）＝ ｆ（ｘ）或ｄＦ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｄｘ
　　那么函数Ｆ（ｘ）就称为ｆ（ｘ）（或ｆ（ｘ）ｄｘ）在区间Ｉ上的原函数。
　　例如：因为（ｓｉｎｘ）′＝ｃｏｓｘ，所以ｓｉｎｘ是ｃｏｓｘ的原函数；又如当ｘ∈（１，＋∞）时，因为（■）′＝■，所以■是■的原函数。
　　原函数存在定理 如果函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上连续，那么在区间Ｉ上存在可导函数Ｆ（ｘ），使对任一ｘ∈Ｉ，都有
　　Ｆ′（ｘ）＝ ｆ（ｘ）
　　简单地说，连续函数一定有原函数。
　　两点说明
　　第一，如果函数ｆ（ｘ）在区间Ｉ上有原函数Ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）就有无限多个原函数Ｆ（ｘ）＋Ｃ都是ｆ（ｘ）的原函数，其中Ｃ是任意常数；
　　第二， ｆ（ｘ）的任意两个原函数之间只差一个常数，即如果Φ（ｘ）和Ｆ（ｘ）都是ｆ（ｘ）的原函数，则Φ（ｘ）－Ｆ（ｘ）＝Ｃ（Ｃ为某个常数）。
　　定义２ 在区间Ｉ上，函数ｆ（ｘ）的带有任意常数项的原函数称为ｆ（ｘ）（或ｆ（ｘ）ｄｘ）在区间Ｉ上的不定积分，记作
　　■ｆ（ｘ）ｄｘ
　　其中记号■称为积分号， ｆ（ｘ）称为被积函数， ｆ（ｘ）ｄｘ称为被积表达式，ｘ称为积分变量，根据定义，如果Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）在区间Ｉ上的一个原函数，那么Ｆ（ｘ）＋Ｃ就是ｆ（ｘ）的不定积分，即
　　■ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ
　　因而不定积分■ｆ（ｘ）ｄｘ可以表示ｆ（ｘ）的任意一个原函数。
　　积分曲线 函数ｆ（ｘ）的原函数的图形称为ｆ（ｘ）的积分曲线。
　　从不定积分的定义，即可知下述关系
　　■［■ｆ（ｘ）ｄｘ］＝ｆ（ｘ） 或 ｄ［■ｆ（ｘ）ｄｘ］＝ｆ（ｘ）ｄｘ
　　又由于Ｆ（ｘ）是Ｆ′（ｘ）的原函数，所以■Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ或记作■ｄＦ（ｘ）＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ。
　　由此可见，微分运算（以记号ｄ表示）与求不定积分的运算（简称积分运算，以记号■表示）是互逆的，当记号■与ｄ 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。
　　（二）常用不定积分
　　（１）■ｋｄｘ＝ｋｘ＋Ｃ（ｋ是常数） （２）■ｘμｄｘ＝■ｘμ＋１＋Ｃ（μ是常数，且μ≠-1）
　　（３）■■ｄｘ＝ｌｎ｜ｘ｜＋Ｃ （４）■ｅｘｄｘ＝ｅｘ＋Ｃ
　　（５）■ａｘｄｘ＝■＋Ｃ（ａ＞0，且ａ≠1） （６）■ｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ
　　（７）■ｓｉｎｘｄｘ＝－ｃｏｓｘ＋Ｃ （８）■■ｄｘ＝■ｓｅｃ２ｘｄｘ＝ｔａｎｘ＋Ｃ
　　（９）■■ｄｘ＝■ｃｓｃ２ｘｄｘ＝－ｃｏｔｘ＋Ｃ （１０）■■ｄｘ＝ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ
　　（１１）■■ｄｘ＝ａｒｃｓｉｎｘ＋Ｃ （１２）■ｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ＝ｓｅｃｘ＋Ｃ
　　（１３） ■ｃｓｃｘｃｏｔｘｄｘ＝－ｃｓｃｘ＋Ｃ
　　
　　四、定积分
　　（一）基本概念
　　定义：设ｆ（ｘ）是定义在［ａ，ｂ］上的函数，在（ａ，ｂ）中任意插入若干个分点（这里插入ｎ－１个）ａ＝ｘ１＜ｘ２＜……＜ｘｎ－１＜ｘｎ＝ｂ来划分区间［ａ，ｂ］，这一分法记为Δ，在每一个部分区间［ｘｉ－１，ｘｉ］中任取一点ξｉ作和式σ＝■ｆ（ξｉ）Δｘｉ，其中Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１，设λ为Δｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）中的最大数，即λ＝■｛Δｘｉ｝，当λ→０时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖于ξｉ的选择，也不依赖于［ａ，ｂ］的分法，就称此极限值为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的定积分。
　　几何意义：■ｆ（ｘ）ｄｘ表示由曲线ｙ＝ｆ（ｘ）及直线ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ，ｙ＝０所围成的曲边梯形的面积。在ｘ轴（ｙ＝０）上方的面积取正值，在ｘ轴（ｙ＝０）下方的面积取负值。
　　（二）基本性质
　　两点规定：
　　（１）当ａ＝ｂ时，■ｆ（ｘ）ｄｘ＝０；
　　（２）当ａ＞ｂ时，■ｆ（ｘ）ｄｘ＝－■ｆ（ｘ）ｄｘ。
　　性质１ 函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即
　　■［ ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ±■ｇ（ｘ）ｄｘ
　　证明：■［ ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝■■［ ｆ（ξｉ）±ｇ（ξｉ）］Δｘｉ（其中λ＝ｍａｘ｛Δｘｉ｝，i=1，2，……，n）
　　＝■■ｆ（ξｉ）Δｘｉ±■■ｇ（ξｉ）Δｘｉ
　　＝■ｆ（ｘ）ｄｘ±■ｇ（ｘ）ｄｘ
　　性质２ 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即■ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ■ｆ（ｘ）ｄｘ。
　　这是因为■ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝■■ｋｆ（ξｉ）Δｘｉ＝ｋ■■ｆ（ξｉ）Δｘｉ＝ｋ■ｆ（ｘ）ｄｘ。
　　性质３ 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ。
　　这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性，值得注意的是，不论ａ，ｂ，ｃ的相对位置如何，总有等式：■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ成立。例如当ａ＜ｂ＜ｃ时，由于■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ，于是有■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ－■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■ｆ（ｘ）ｄｘ＋■ｆ（ｘ）ｄｘ。
　　性质４ 如果在区间［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）＝１，则■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■１ｄｘ＝ｂ－ａ。
　　性质５ 如果在区间［ａ，ｂ］上 ｆ（ｘ）≥０，则■ｆ（ｘ）ｄｘ≥０（ａ＜ｂ）。
　　推论１ 如果在区间［ａ，ｂ］上 ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），则■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■ｇ（ｘ）ｄｘ（ａ＜ｂ）。
　　这是因为ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）≥０，从而■ｇ（ｘ）ｄｘ－■ｆ（ｘ）ｄｘ＝■［ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）］ｄｘ≥０，所以■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■ｇ（ｘ）ｄｘ。
　　推论２ ｜■ｆ（ｘ）ｄｘ｜≤■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ（ａ＜ｂ）。
　　这是因为－｜ ｆ（ｘ）｜≤ｆ（ｘ）≤｜ ｆ（ｘ）｜，所以－■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ，即 ｜■ｆ（ｘ）ｄｘ｜≤■｜ ｆ（ｘ）｜ｄｘ。
　　性质６ 设Ｍ 及ｍ 分别是函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的最大值及最小值，则
　　ｍ（ｂ－ａ）≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）（ａ＜ｂ）。
　　证明：因为ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ，所以■ｍｄｘ≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤■Ｍｄｘ，从而ｍ（ｂ－ａ）≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）。
　　性质７（定积分中值定理） 如果函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则在积分区间［ａ，ｂ］上至少存在一个点ξ，使下式成立：■ｆ（ｘ）ｄｘ＝ ｆ（ξ）（ｂ－ａ），这个公式叫做积分中值公式。
　　证明：由性质６可得，ｍ（ｂ－ａ）≤■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ），各项除以ｂ－ａ得ｍ≤■■ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ，再由连续函数的介值定理，在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使ｆ（ξ）＝■■ｆ（ｘ）ｄｘ，于是两端乘以ｂ－ａ得中值公式■ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）。
　　【注】不论ａ＜ｂ还是ａ＞ｂ，积分中值公式都成立。
　　五、定积分与不定积分的计算
　　例题13：计算积分■ｘ２■ｄｘ。
　　解析：■ｘ２■ｄｘ＝■ｘ■ｄｘ＝■ｘ■＋Ｃ＝■ｘ■＋Ｃ＝■ｘ３■＋Ｃ。
　　例题14：计算积分■■。
　　解析：■■＝■ｘ■ｄｘ＝■＋Ｃ＝－３ｘ■＋Ｃ＝－■＋Ｃ。
　　例题15：计算积分■■（ｘ２－５）ｄｘ。
　　解析：■■（ｘ２－５）ｄｘ＝■（ｘ■－５ｘ■）ｄｘ
　　＝■ｘ■ｄｘ－■５ｘ■ｄｘ＝■ｘ■ｄｘ－５■ｘ■ｄｘ
　　＝■ｘ■－５·■ｘ■＋Ｃ。
　　例题16：计算积分■■ｄｘ。
　　解析：■■ｄｘ＝■■ｄｘ＝■（ｘ－３＋■－■）ｄｘ
　　＝■ｘｄｘ－３■ｄｘ＋３■■ｄｘ－■■ｄｘ＝■ｘ２－３ｘ＋３ｌｎ｜ｘ｜＋■＋Ｃ。
　　例题17：计算积分■（ｅｘ－３ｃｏｓｘ）ｄｘ。
　　解析：■（ｅｘ－３ｃｏｓｘ）ｄｘ＝■ｅｘｄｘ－３■ｃｏｓｘｄｘ＝ｅｘ－３ｓｉｎｘ＋Ｃ。
　　例题18：计算积分■ｔａｎ２ｘｄｘ。
　　解析：■ｔａｎ２ｘｄｘ＝■（ｓｅｃ２ｘ－１）ｄｘ＝■ｓｅｃ２ｘｄｘ－■ｄｘ＝ｔａｎｘ－ｘ＋Ｃ。
　　例题19：计算（１）■ｘ２ｄｘ； （２）■■ｄｘ。
　　解析：（１）■ｘ２ｄｘ＝■■■＝■－■＝■；
　　（２）■■ｄｘ＝［ｌｎ｜ｘ｜］■■＝ｌｎ４－ｌｎ２＝ｌｎ■＝ｌｎ２。
　　例题20：计算（１）■ｘ＋■■ｄｘ； （２）■■。
　　解析：（１）■ｘ＋■■ｄｘ＝■ｘ２＋２＋■ｄｘ＝■＋２ｘ－■■■＝■；
　　（２）■■＝■■－■■ｄｘ＝－■－ａｒｃｔａｎｘ■■＝■＋■－ａｒｃｔａｎ２。