化归与归纳·类比·联想
2008-4
大连理工大学出版社
史久一,朱梧槚
242
无
数学有两种品格，其一是工具品格，其二是文化品格。……数学之文化品格、文化理念与文化素质原则之深远意义和至高的价值在于：他们当年所受到的数学训练，一直会在他们的生存方式和思维方式中潜在地起着根本性的作用，并且受用终身。 ——现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在您面前，需要烧水时，须进行如下操作： 往水壶里注满水，点燃煤气，把水壶放到煤气灶上。 ——假设现在水壶中的水是满的，其他情况不变，又该怎样去做？ 物理学家的答案：“点燃煤气，再把水壶放上去。” 数学家的答案：“只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。” 数学家通过分析特殊与一般的关系，对问题进行分解与组合，关系映射反演，归纳、类比、联想等将复杂的问题划归为简单的、可以解决的问题。这种方法，远不限于数学领域。
引言一 特殊与一般 1.1 特殊与一般的关系 1.2 特殊化与简单化 1.3 命题中之特殊因素的挖掘 1.4 一般化二 分解与组合 2.1 分解的对象 2.2 局部变动法 2.3 补集法三 关系映射反演原则 3.1 关系映射反演原则的意义和一般模式 3.2 中学数学中的关系映射反演原则 3.3 构造与变换四 归纳、类比、联想及其在化归中的作用 4.1 归纳的意义及其在化归中的作用 4.2 类比的意义及其在化归中的作用 4.3 联想的意义及其在化归中的作用参考文献
二 分解与组合 认识论的原则告诉我们，要认识一个事物，只停留在表面的观察是不够的，必须通过分解，深人事物的内部，才能对事物有一个真正的了解．数学和数学问题也不例外，同样需要通过分解，才能深入其内部，从而把握问题的本质。 首先，只有通过分解，才能清晰地了解待处理问题内部的各种制约关系，从而找到一个解决问题的办法，也只有通过分解，才能弄清问题的外延，从而知道我们应该从哪些方面人手去解决问题。 其次，就化归的本义来说，我们处理问题也不能总是依靠“把一个问题转化为一个熟悉问题”的模式．实际上，哪怕是一个极简单的问题，也往往在处理过程中伴随着分解，即把一个问题分解成几个熟悉的问题，如所知，我们在求凸多边形的内角和时，就是把凸多边形分解为几个三角形去处理的。
无
思路清晰，用例精当，对培养数学思维有很好的指导作用。
太多的数学公式，比较深奥，一般人看不下去耶。不属于可轻松看完的书
对逻辑思维训练有用
数学的公式工作后没记得几个了，数学的思维方法却时刻影响着我们解决生活及工作中的大大小小的问题。很多人的数学学得不好，可能看这本书有点吃力并且会后悔当初没有把数学学好。但这依然是值得一读的好书，如果10年前我还在学校里的时候读到这本书，我想我一定取得超过今天大得多的成绩。
印象最深的是书中的前言部分提到，匈牙利著名数学家路莎·彼得(Rózsa Péter)在她的《无穷的玩艺》一书中对“化归”的一个比拟：“现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在您面前，当您要烧水时，您应当怎么去做呢？”“往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上。”“您对问题的回答是正确的，现在把所说的问题稍作修改，假设水壶中已经盛满了水，其他情况都不变，此时您应当怎样去做呢？”“点燃煤气，再把水壶放上去。”“只有物理学家们才会这样说，而数学家们通常会说：只需把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。这样的推理过程对于数学家来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化为已经能够解决的问题。”
由此可见，化归是通过转化的手段，把待解决问题归结为已经能够解决或比较容易解决的问题。
> 化归 = 转化 + 归结。特殊与一般相互转化，无非是为了化难为易；分解与组合相互转化，无非是为了化繁为简。说穿了，化归就是化难为易、化繁为简，化归的方向就是简易的方向（问题更易解决的方向），把未解之问题转到已解之问题中，把未知之结论转到已知之结论中。
> 特殊之于一般，就是细之于粗。个性就是细，共性就是粗；特殊性就是细，普遍性就是粗。细乃范围之细窄，粗乃范围之粗广；细乃事物之具体，粗乃事物之抽象。特殊化即细化，即具体化，一般化即粗化，即抽象化。
> 合理猜测的前提是观察，找规律。一些“苗头”，一些“蛛丝马迹”，能够触发产生一些猜想。
> RMI(关系-映射-反演)原则不过是一种噱头罢了，现实的意义不大。它实质上就是一种化归（或者类比），映射之于转化，反演之于归结，只不过突出强调了一种整体转化的模式罢了。
> 关系结构是什么？（疑问）
> 构造就是创建有利的条件。构造就好比是酶，酶可以使蛋白质的转换变得容易，而构造可以使问题的转换变得容易。
> 推演(推理演绎)只是一个补行的手续罢了。推演只是表面，推演的背后是实验、观察、归纳、类比、联想等，是它们帮助我们找到正确的推演。推演不是求解的思考过程，而是求解的最终结果。
> 归纳就是从特殊到一般的猜想和证明。类比其实就是联想，但和联想又有点不同，它包含联想和逆联想两部分，没有联想那么直接。联想就是一种“近”的机制，使得联系紧密的双方能够很快地找到对方。
这几天在断续地看这本书。
如果对想对中学数学有更进一步了解——相对于双基——的话，这本书还是值得去看一看的。这是因为从方法论角度来看，其层次明显高于双基；并且，现在中学数学方法论的书每次出版的发行量都比较小，几年前的书基本上在书店都很难买到了。功利地来说，可以跳出部分题海；其实只要忽悠的本领足够好的话，完全可以跳出题海。
另外，该书中有个别错别字（应该是出版社的事情）；还有个别图未放在应该的位置，从而导致上下文阅读不流畅。