数学物理方程
2012-4
冶金工业出版社
魏培君
244
234000
《数学物理方程》系统介绍了三种典型偏微分方程，即波动方程、热传导方程和静态场方程的分离变量解法。限于篇幅，对格林函数方法和积分变换方法未作介绍。与现有数学物理方程教材相比，《数学物理方程》增加了二元及多元偏微分方程的化简和分类，矢量分析与张量分析基础知识以及场论和曲线坐标系等内容。考虑到柱波函数和球波函数的加法定理在实际物理问题(如电子波、电磁波和机械波的多重散射)中有重要应用，但现有教材较少涉及，本书中还增加了这方面的有关内容。
《数学物理方程》可作为理工科类各专业本科和研究生学习“数学物理方程”课程的教材用书，也可供广大科技工作者和工程技术人员阅读和参考。
1 偏微分方程及其分类
1.1 偏微分方程的基本概念
1.2 2阶2元线性偏微分方程的分类
1.3 多元线性偏微分方程的分类
习题
2 3类典型方程及其定解条件
2.1 3类典型方程的导出
2.1.1 波动方程的导出
2.1.2 输运方程的导出
2.1.3 稳态场方程
2.2 定解条件
2.3 定解问题的适定性
2.3.1 Laplace方程的适定性
2.3.2 热传导方程的适定性
2.3.3 波动方程的适定性
2.4 数理方程反问题
习题
3 算子、场和坐标系
3.1 矢量与张量
3.1.1 矢量
3.1.2 张量
3.2 Hamilton算子
3.2.1 梯度
3.2.2 散度
3.2.3 旋度
3.2.4 Hamilton算子的复杂运算
3.3 场
3.3.1 有势场
3.3.2 管形场
3.3.3 调和场
3.4 正交曲线坐标系
3.4.1 正交曲线坐标系
3.4.2 曲线坐标系中的基矢量与弧微分表示
3.4.3 曲线坐标系下的梯度，散度和旋度
习题
4 直角坐标系下的分离变量法
4.1 有界弦的自由振动
4.2 有界杆的热传导
4.3 斯图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)特征值问题
4.4 级数解的收敛性
4.5 非齐次定解问题
习题
5 圆柱坐标系下的分离变量法
5.1 极坐标系下的Laplace方程
5.2 柱坐标系下的Helmholz方程
5.3 贝塞尔方程的求解
5.4 贝塞尔函数的性质
5.4.1 贝塞尔函数的零点
5.4.2 贝塞尔函数的渐进性质
5.4.3 贝塞尔函数的递推关系式
5.4.4 贝塞尔函数的正交性
5.4.5 半奇数阶的贝塞尔函数
5.4.6 整数阶的贝塞尔函数
5.4.7 平面波按驻波函数的展开式
5.4.8 柱波函数的加法公式
5.4.9 整数阶贝塞尔函数的积分形式
5.5 贝塞尔函数方程的特征值问题
5.6 综合应用
习题
6 球坐标系下的分离变量法
6.1 球坐标系下的亥姆霍斯方程和拉普拉斯方程
6.2 勒让德方程的求解
6.3 勒让德多项式的性质
6.3.1 和 的基本性质
6.3.2 和 的微分和积分表达式
6.3.3 和 的正交性
6.3.4 母函数及递推关系式
6.3.5 球面调和函数及其正交性
6.3.6 平面波展开公式
6.3.7 加法公式
6.4 勒让德方程和球贝塞尔方程的特征值问题
6.5 综合应用
习题
7 无界域中的分离变量法
7.1 1 维无界域中的分离变量法
7.2 2 维和3维无界域中的分离变量法
习题
参考文献
版权页： 插图： 在一个包含各阶偏导数的偏微分方程中，最高阶的偏导数项决定着偏微分方程的性质，通常称为偏微分方程的主部。根据主部可以对非线性偏微分方程作进一步的分类。以二阶偏微分方程为例，如果主部关于最高阶偏导数是线性的，则称偏微分方程为拟线性偏微分方程。 换句话说，出现第一类和第二类非线性项的偏微分方程是拟线性的偏微分方程；而出现第三类非线性项的偏微分方程是完全非线性偏微分方程。 性质1 空间每一个点都属于一个等值面。 性质2 不同的等值面互不相交，即不存在一个点同时属于两个等值面（线）。 矢量场不仅有大小，还有方向，如位移场、静电（磁）场、重力场等。矢量场可一般地表示为A（x，y，z）。 性质1 空间每一点都属于一条矢量线。 性质2 矢量线互不相交（除源点外）。 由性质2知，通过封闭曲线L上所有点的矢量线必形成一管道，称此管道为矢量管，如图3．3—1所示。若设管道壁的外法线为n，则有A•n=0。 张量场较标量场和矢量场更为复杂，如应力场、应变场等。本书不作深入讨论，而将重点放在矢量场上。
《普通高等教育"十二五"规划教材:数学物理方程》可作为理工科类各专业本科和研究生学习“数学物理方程”课程的教材，也可供广大科技工作者和工程技术人员阅读和参考。
