高观点下的初等数学
2008-9
复旦大学出版社
Felix Klein
286
舒湘芹,陈义章
无
菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。 本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。 克莱因认为函数为数学的”灵魂”。应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导”高观点下的初等数学”意识。在克莱因看来，一个数学教师的职责是：”应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”；基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视。理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。他认为”有关的每一个分支，原则上应看做是数学整体的代表”，“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”。 本书对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，用本书译者之一，我国数学家、数学教育家吴大任先生的话来说，”所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发”，此书”至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理……”。
菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。
第一卷目录 博洽内容独特风格 ——《高观点下的初等数学》导读 吴大任 纪念克莱因 ——介绍《高观点下的初等数学》 齐民友 第一版序 第三版序 英文版序 前言第一部分 算术 第一章 自然数的运算 1.1 学校里数的概念的引入 1.2 运算的基本定律 1.3 整数运算的逻辑基础 第二章 数的概念的第一个扩张 2.1 负数 2.2 分数 2.3 无理数 第三章 关于整数的特殊性质 第四章 复数 4.1 通常的复数 4.2 高阶复数，特别是四元数 4.3 四元数的乘法——旋转和伸展 4.4 中学复数教学 附：关于数学的现代发展及一般结构第二部分 代数 第五章 含实未知数的实方程 5.1 含一个参数的方程 5.2 含两个参数的方程 5.3 含3个参数λ，μ，ν的方程 第六章 复数域方程 6.1 代数的基本定理 6.2 含一个复参数的方程第三部分 分析 第七章 对数函数与指数函数 7.1 代数分析的系统讨论 7.2 理论的历史发展 7.3 中学里的对数理论 7.4 函数论的观点 第八章 角函数 8.1 角函数理论 8.2 三角函数表 8.3 角函数的应用 第九章 关于无穷小演算本身 9.1 无穷小演算中的一般考虑 9.2 泰勒定理 9.3 历史的与教育学上的考虑 附录 Ⅰ. 数e和π的超越性 Ⅱ. 集合论 ……第二卷 几何第三卷 精确数学与近似数学
插图：第一部分 算术第一章 自然数的运算让我们从算术的基础即正整数的运算讲起。就像以后各章一样，我们先提出中学里是怎样处理这些内容的，再讲从高等数学观点看它们意味着什么。1.1 学校里数的概念的引入我只限于做一些简单的提示。这将使你们回忆起自己是怎样学到数的概念的。我这样讲的目的，当然不是像中学讲习班那样，为了把你们领进教学之门，而仅仅是为了摆出我们据以进行评论的材料。教小孩学会整数的性质，学会整数的运算，再使他们彻底掌握，这是一个很难的问题，要他们下几年的工夫，从小学一年级学到10岁或11岁。德国的教法也许用直观和生成两个词来表达最为确切。也就是说，整个数的概念结构是在熟悉的、具体的事物的基础上逐步建立起来的，这与大学里学习用的逻辑及系统方法恰成鲜明的对照。这一部分教学内容可以大致划分如下：小学一后级整整一年都学整数1到20，前半学年从1学到10。整数最初出现是用一个个点或一排排小孩熟悉的各种东西标上数字，然后用直观法讲授加法和乘法，使小孩牢记在心。第二阶段教整数1到100，引入阿拉伯数字，同时引入位制概念和十进制。附带说说，“阿拉伯数字”这个名称就像许许多多科学名称一样，是一个张冠李戴的名称。发明这种记数的形式实际上是印度人，而不是阿拉伯人。第二阶段的另一个主要目的是学会乘法表，可以说必须要睡着了也背得出5×7或3×8。当然学生要熟记乘法表到这种程度，这只有通过直观的手段。支用具体的东西使学生搞清楚之后，才能够说有把握。
1965年前后，高等教育出版社经广泛试稿后，决定请我的老师陆秀丽教授翻译19世纪末、20世纪初德国知名数学大师菲尼克斯·克莱因所著的《高观点下的初等数学》（以下简称《高观点下》）一书。1966年史无前例的“文化大革命”运动到来，陆老师的翻泽工作不仅中断，而且不得不将译出的部分书稿付之一炬。20世纪80年代初，上海科技出版社登门邀请陆老师再译《高观点下》一书，陆老师不愿旧事重提，婉拒了上海科技出版社的善意约请。20世纪80年代初期，我开始阅读《高观点下》（英文版），深深感到这里的初等数学内容并不初等，书中文字也不是普通的数学语言，很少运用数学形式推导；它所讨论的并非一般的数学教材内容，书的写作结构也别具一格，不同于过去我读过的任何一本数学书籍。克莱因在书中对各个分支的数学概念、语言、符号以及运算法则等各个环节中问题的产生与发展，其内因、外因和发展过程的思维描述都非常细腻、清晰、灵活，且逻辑性很强，其中还涉及接受数学知识的心理学和认知论问题的讨论。此书所涵盖的知识广泛，包括哲学、物理学、天文学、气象、测量等多个学科中的许多问题，有些问题十分复杂。众所周知，自17世纪以来，数以百计的世界级大科学家如牛顿、康托、伽利略、开普勒、莱布尼兹、庞卡莱等人，对数学领域方方面面问题的提出、论证以及应用都曾取得重大成就，克莱因将其融人数学这一严谨学科的各个分支的各个部分，揭示它们的共性、它们的本质以及它们之间的相互关系，使《高观点下》一书成为完整和谐的有机整体。尤其是书中始终关注数学教育，强调数学教学的方向、教师必须注重的数学知识以及有效的教学方法，旨在提高教师的一般数学素养。
教师应该具备更高的数学观点。理由是，观点越高，事物越显得简单。《高观点下的初等数学》一书，至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理，而当时德国数学教育中的不少问题，在今日之我国也仍然存在。克莱因声称本书是为中学教师和成熟的大学生写的，但按其内容，所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发……现代数学已发生了极大变化，新成果、新概念、新观点、新学科层出不穷。我热切希望我国高水平的数学多面手会写出更结合我国实际的、现代化的《高观点下的初等数学》。这样一本书的出版将是我国数学教育史上的一件大事。 --吴大任读这本书，您会感到极有收获，而不得不心悦诚服。不得不承认克莱因是真正的大师！ 一齐民友除了数学的工作之外，克莱因的数学史至今仍是19世纪数学史上的重要的标准著作，作为当时的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家有所启迪。他的《高观点下的初等数学》反映了.他对数学的许多观点，是一本译为多种文字的通俗读物，影响至今不衰。 --胡作玄菲利克斯·克莱因教授是德国有名的数学研究家，他也是一位循循善诱的教师。他以罕见的天才，集一切数学领域的知识于一一身，并善于领悟这一切领域之间的相互关系。他认为使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体，是他作为一个教师的明显职责。他对中学数学教学有浓厚的兴趣，不仅关心应该教些什么内容，而且关心怎样教才是最有效的方法……他一贯努力缩短中学和大学之间的差距，从传统的漠不关心中激起中学教师对高等数学的兴趣，把中学数学教学引向健康发展的方向；同时也努力扭转大学的态度及教学方向，使之承认中学的正常地位，使数学教育前后一贯……《高观点下的初等数学》是一本无比珍贵的著作，同样可作为大学教师和中学教师的参考书。无论就材料安排的巧妙或就讨论方式的引人入胜来说，目前都没有一本书可以同这本书相比。 --洛杉矶加利福尼亚大学数学教授E·R·赫德里克 --伯克利加利福尼亚大学数学教授 C·A·诺布尔
《高观点下的初等数学(全3册)》对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，用《高观点下的初等数学》译者之一，我国数学家、数学教育家吴大任先生的话来说，“所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发”，此书“至今读来仍然感到十分亲切。这是因为，其内容主要是基础数学，其观点蕴含着真理”。
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《高观点下的初等数学》各家评语吴大任评语教师应该具备更高的数学观点.理由是,观点越高,事物越显得简单.《高观点下的初等数学》一书,至今读来仍然感到十分亲切.这是因为,其内容主要是基础数学,其观点蕴含着真理,而当时德国数学教育中的不少问题,在今日之我国也仍然存在.克莱因声称本书是为中学教师和成熟的大学生写的,但按其内容,所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发……现代数学已发生了极大变化新成果、新概念、新观点、新学科层出不穷.我热切希望我国高水平的数学多面手会写出更结合我国实际的、现代化的《高观点下的初等数学》.这样一本书的出版将是我国数学教育史上的一件大事.齐民友评语读这本书,您会感到极有收获,而不得不心悦诚服.不得不承认克莱因是真正的大师!胡作玄评语除了数学的工作之外,克莱因的数学史至今仍是19世纪数学史上的重要的标准著作,作为当时的领袖数学家,他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家有所启迪.他的《高观点下的初等数学》反映了他对数学的许多观点,是一本译为多种文字的通俗读物．影响至今不衰.洛杉矶加利福尼亚大学数学教授E.R.Hedrick和伯克利加利福尼亚大学数学教授C.A.Nobel评语菲利克斯•克莱因教授是德国有名的数学研究家,他也是一位循循善诱的教师.他以罕见的天才,集一切数学领域的知识于一身,并善于领悟这一切领域之间的相互关系.他认为使学生了解数学并不是孤立的各门学问,而是一个有机的整体,是他作为一个教师的明显职责.他对中学数学教学有浓厚的兴趣,不仅关心应该教些什么内容,而且关心怎样教才是最有效的方法……他一贯努力缩短中学和大学之间的差距,从传统的漠不关心中激起中学教师对高等数学的兴趣,把中学数学教学引向健康发展的方向;同时也努力扭转大学的态度及教学方向,使之承认中学的正常地位,使数学教育前后一贯……《高观点下的初等数学》是一本无比珍贵的著作,同样可作为大学教师和中学教师的参考书.无论就材料安排的巧妙或就讨论方式的引人入胜来说,目前都没有一本书可以同这本书相比.
《高观点下的初等数学（西方数学文化理念传播译丛）》（全三卷）的作 者——菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，对我国从事数学学习和数学教育的广大读者具有较好的启示作用，所有对数学有一定了解的人都可以从中获得教益和启发”
是一部数学教育的杰作，全书共分3卷：第一卷：算术、代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。作者克莱因倡导“高观点下的初等数学意识”主要是反映了他对中学数学教育的主张和一些观点。
这是德国数学大师克莱因所做讲演的集成,表达了用变量数学的观点来研究和理解初等数学.一扫学术界把初等数学和高等数学截然分开的观念,并主张在高中阶段逐步把微积分介绍给学生.这个主张得到学术界广泛认同.这本书不但适合中学数学教师阅读,也适合大学生,研究生阅读.可惜当当发书时只给了第三卷,又无法补发第二和第一卷,只能退书重购.
绝对大师之作，经典中的经典。
按照克莱因的思路，初等数学（小学和中学）最多一年可以学完。
中国教育的问题主要在教师和教材，根源在于制度，使水平高的离开了教学队伍，留下一些小时候书没读好的人来教书。
我曾经问过很多中学小学数学老师，他们连分数、小数、进位、退位都说不清楚，讲不清楚竖式除法。他们不清楚那些是约定，那些是公理、那些是定理和推论。
现在小学中学数学教材编的太差了。应该请一流数学大师编中小学数学教材。
我希望有时间编一本适合中国孩子学习的初等数学，以免他们受到现在这些不懂数学的老师的折磨和毒害。
在学校时老师常讲F.克莱因的<高观点下的初等数学>,当时好想得到,但只有湖北教育出版社在20世纪80年代出版过,只得从老师手中借了复印.读后觉得对自己有不小的提高.知识方面使自己对高初等数学的联系有了更深刻的理解,方法上自然更上了一个台阶.
高观点下的初等数学是本好书,值得中学教师一读,尤其是值得教育硕士(数学)研读.本书观点高,利于数学教师对中学数学从另一角度解读,利于素质教育.
书比我想象的体积要小 打开书倍感欣慰的就是书里面的排版字体设定终于没有了数学书的感觉 基本这就是克莱因的讲座文字版吧 太赞了 大师就是大师 对着书都能感受到一种数学大师气质 克莱因比较注重数学史的东西 所以第一卷我看了几十页决定先看看数学史 现在先看的是 对比克莱因的观点发现自己遇到了很稀有的比较称职的数学老师 但是高一都没有好好学 借此深刻反省下
克莱因是哥廷根的杰出数学家和数学教育家
在当当网订了《高观点下的初等数学（西方数学文化理念传播译丛）（全三卷）》，昨天下午收到货，但发现该书只有第一卷，缺少第2，3卷，请问什么时候发余下的第2，3卷，谢谢。
克莱因的这本书非常好，特别是我读了哥廷根的那段历史之后，有了更深的印象，书中的讲述方式很自然，让人感觉学术氛围很轻松，但又在很高的层次上探讨数学，正如书中所说的，不管读者的数学修养如何，都会从本书中有所收获。
高观点下的初等数学对中学教学帮助很大
高观点下的初等数学（西方数学文化理念传播译丛）（全三卷）,比描述的还好。
首先，这套书的包装不错;其次，内容很充实，从一个更高的观点下来系统地讲解初等数学;综合起来评价，不愧为大师的作品。
这是一本值得一看的书，初等数学与高等数学联系在一起。
克莱因不愧是一代数学大师
最难的事情就是对小孩子可以接受的方法让他们理解,高观点下的初等数学又助于这项工作的开展!
同样地太祖长拳，乔峰使用起来天下无敌；
同样是初等数学，克莱因讲起来，极具杀伤力！
高观点下的初等数学内容非常好，适合初高中的数学老师
高观点下的初等数学，不错，很好，建议购买
这书的大名是不用多说的，从网上看了一部分电子版的，不大舒服，忍不住还是买了套纸版的。这书对于回头提高初等数学的修养是独一无二的，大概是找不到第二本这样的书了。回首看看，发现从小学到中学到大学直到研究生学过那么多乱七八糟的课，有一些课比如政治啊，地理啊真心的是废课。真正重要的还是数学，物理这两门课。要好好学
我的评论远远不如吴大任大师的书评，我只是从一个读者的观点说，我自认为数学学得不错，但是各个知识点一盘散沙，实际工作中也没法用得到，该忘得都忘了，其实是没有把数学融会贯通，知其然不知其所以然，其实我们已经学了那么多年的数学了，不差这点时间把这本书好好看看。
学要学的明白！！
看完前2章，翻译得不错。
对于师范数学专业的学生来说无疑是一本很值得阅读的书籍，不得不承认克莱因是真正的大师！！
极大加深了对数学知识的理解，对理论体系的脉络的充分了解，极大促进了数学能力的提高。讨厌数学的人，更加应该看看本书，也许就不会觉得数学多么枯燥难学，而且充满了趣味。最应该阅读本书的是中学和高校数学基础课的教师，也许这样会让很多学生不那么害怕或者痛恨数学。
想了解中学数学内容，思考数学教学改革的教师都应该看看。
F.克莱因的经典著作，不逊色于什么是数学
应该把这本书好好看看，毕业多年有点忘本，只留下初等数学的东西，要提升自己
在朋友的推荐下买的。很是不错。对初等数学的上位知识体系，及对现在数学教学还是很有指导导意义的。
很好的书，从高观点来看数学的问题，很有帮助
中学数学内容的起源，很适合中学数学教师了解数学知识的来龙去脉。
从（广义）高等数学视角评价初等数学的内容，很不错……
可以用于教授初等数学的老师提升用书。
参加数学竞赛的学生也可以参考。
这初等数学不是我们平常中国高中水平，这德国的初等数学，让我难以招架。
本书最大的特点就是融会贯通了各种初等数学知识。
国内中学数学教育，必读通读此书来反思。唯一的缺点，卷一，有一节被译者擅自删除，可恨！可气！可愤！
这套书适合具有数学基础的人阅读，观点新颖，使人具有耳目一新的感觉。
应该说：德国数学家的认真、深刻确实可以成为我们这些数学人学习的典范，如果翻译者的文笔再清新一些就更好了！
相当不错，正是自己需要的。一些初等数学的知识。
对于中学数学教师和大学生是个不错的选择
俯视之角，窥视初等数学，妙哉，妙哉。
经典之作，适合大学数学学生、中学数学老师必读！
国内的数学教师都应认真学习此书！！！素质教育就要从老师抓起。（当然选拔人才的体制也应改变）
难得的一套大学与中学数学衔接的好书
让人能够在高角度上看待我们的数学。就仿佛一位高中学生，回头看小学数学内容，那种理解是独到的，也是高屋建瓴地。可能你会更理解这些知识的意义。
提高数学教师的修养，应该好好看看
如果家长想辅导小孩中学数学，还是买吧
大学教授推荐的，作为数学专业的学生，觉得本书很有内涵，值得学习。另外书的质量很好，物流也很快！
很好的书，对于非数学专业的读者，可以提升数学文化修养---虽然十分难读！
作为一个学数学的同学，读一读不错
没有高等数学基础的人很难看下去
已经工作了几年了，偶然看到很多数学符号只有似曾相识的感觉，于是决定重温一下数学知识。刚刚看了几页，整体感觉还是很不错的，逻辑性很强，很容易唤起记忆。很亲切。
书中介绍的数学知识很完备，适合对数学有兴趣的读者欣赏
提高数学思想的好书，值得读。
数学文化方面比较好参考书
以前一看到数学就头大，我知道这是三本好书，希望能从中克服自己的弱点
还是研究研究高等数学，然后再回头看吧...
启迪数学后辈与信徒。。。。。
数学方面的好书
对学习数学确实有帮助
喜欢数学，买来看看。
一直很喜欢作者的数学思想史。
换一种数学教育观。
数学乃万科之母。
好书，适合数学老师看看。
喜爱数学的值得收藏
数学爱好者的好伴侣！
数学爱好者可以读读。
好书啊让我对数学的认识提高了很多！
不俗，用深度，可以提高数学素养。
数学名著，各个图书馆都借不到，干脆自己买吧。
从高观点下理解初等问题有助于帮助深入思考！
这是克莱因先生写的书，这是那个在那个年代发现很多有趣事的那个德国人---克莱因先生---写的书，我是慕名而来的。书到了之后立马认真把那三本小书包好，包得一定很完美一定很耐久，然后慢慢看…
这书我不敢推荐，个体与个体的需求不同，这本书我是怀着一点儿崇敬和好奇看的，希望能不错。
截止到目前，还很正常…某些细节让我眼前一亮……
截止到目前，我没失望……
克莱因的经典书！好评
是中学教师和师范大学生的好读物。
很经典，适合中学教师和大学生看，提升个人素质。
通俗易懂 适合师范生和中学教师
这书大家都听说过，里面的观点也不少人认同，可惜了。。。。都是围观。
哥廷根辉煌的缔造者，拓扑学的大宗师，水平就是不一般
从高往下看
这三卷都很薄，没必要分成三卷。。。个人意见。。。内容没得说，对我帮助启发很大
大学问，应该深入浅出。
领导认为的好书，应该会好吧
经典著作，对我这样的高一学生有很大启发。不过还有些部分看不太懂。
本书三卷比较系统
个人求知的过程，都是整个人类求知过程的缩影，教学的时候可以尽可能的减少历史上曾经的弯路和岔路，但是绝不应该改变沿途站点的次序，忘记或者篡改历史都是一种不明智的做法。
梦寐以求的好书，第一次订购，只寄来第三卷，希望尽早收到
对任何一个做科研的人来说此书必看
先把初數學好，過不久就要學高數了。印刷不錯，送貨速度也還不錯
我非常满意这本书，一切都是很好的，赞一个，
读读此书，你就明白为什么我们的教育如此落后了
就像大树的根，你能建立起牢固的根基。
好书 慢慢品来 简单的想法往往蕴含着大道理
100年的时间，我们在做什么，或许下一百年仍无法改变.
大师的书就是好啊，，真正的大师啊
经典著作。孩子小，看不懂，大些再看吧。
书正版，很好，物流快，赞一个！
真正的大师总不会让我们失望的。
印刷不错,书还没读
还没开始读，不过质量很好
慢慢读吧！
无论何时读到总能受益，但是经典总是越越早看到越好