群的结构与对称性
2008-12
浙江大学出版社
陈辉
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群论自19世纪由Galois创立以来，不仅成为近代代数的重要分支，而且其应用范围已深人到科学技术的各个领域。尤其是自然科学的物理、化学和生物的研究中，群论已成为必不可少的强有力的数学工具。对称性是自然界最普遍、最重要的特性。自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某种特殊的对称性。虽然对称的概念看来是很明显的，但为了给对称这个概念一个精确的和一般的描述，特别是对称性的量上的计算，却需要利用群论这个工具。本书系统地介绍群的对称性及其应用。 全书共分七章，对称与群初步、群的对称性与群的结构、群表示论基础、代数方程的对称性、物理学中的对称群、分子对称群及Lie群结构的对称性。其中群与群的表示理论是本书的基础。 本书着眼于方法论的阐述，不仅引入概念，阐述理论，而且附有大量的应用实例，涉及了数学、物理学、化学、材料科学和工程技术各方面，使读者领悟群的对称性的科学含义及广泛应用背景。
第1章 对称§1.1 图形的对称§1.2 对称变换§1.3 平面运动§1.4 对称变换群第2章 群的结构§2.1 群§2.2 置换群§2.3 群的重排定理、正规子群和商群§2.4 群的置换表示理论初步§2.5 有限群的Sylow定理§2.6 有限交换群的结构§2.7 有限群分类初步§2.8 可解群§2.9 幂零群与超可解群§2.10 群的构造§2.11 交换群的结构§2.12 群对称性的应用第3章 群表示论§3.1 结合代数§3.2 有限维代数§3.3 半单代数的对称性§3.4 有限结合代数的表示§3.5 群表示初步§3.6 群的特征标§3.7 群的特征标表§3.8 群的特征标的例子§3.9 有限群特征标理论的应用§3.10 有限群的不等价不可约表示§3.11 直积群的表示第4章 物理学中的对称群§4.1 Wigner-Eckart定理§4.2 Wigner-Eckart定理的应用§4.3 对称群的标准表示§4.4 对称群表示的约化§4.5 Young对称子及应用第5章 分子对称群§5.1 简单的分子对称群§5.2 空间的对称性§5.3 晶格的对称性§5.4 点群§5.5 晶体点群第6章 Galois群及其应用§6.1 代数方程解法概述§6.2 Galois基本定理§6.3 自同构群……第7章 Lie群的结构与对称性参考文献
第1章 对称 对称性是自然界最普遍、最重要的特性。自然界所有重要的规律均与某种对称性有关，对称性的研究已越来越广泛地应用到物理学的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子与分子物理、晶体物理、原子核物理以及化学中晶体的分类、生物（DNA的构型对称性等）和工程技术。 虽然对称的概念看来是很明显的，但为了给对称这个概念一个精确的和一般的描述，特别是对称的性质的量的刻画，却需要利用群论这个工具。我们探讨平面上有限图形的对称，人们都会说圆比正方形更对称些，正六边形比正三角形更显得对称一些。如果问正方形和正六边形谁更对称一些，该怎么回答呢？无论是单个图形还是带型、壁纸型对称图案都可用群来准确描述。本章将讨论对称与群，并将强调群概念产生的背景，群是对称概念的数学描述，研究群就是为了研究复杂的对称。希望读者能对“对称即群”有一个初步的理解。 §1.1 图形的对称 什么是对称性？按照英国《韦氏国际辞典》中的定义：“对称性乃是分界线或中央平面两侧各部分在大小、形状和相对位置的对应性。”这里追溯到最直观、最早为人们熟知的所谓几何对称性。空间一点A叫做点B关于平面M的对称点，如果这平面垂直地交线段AB于其中点，通常说B点是点A关于平面M的反射象。说一个几何体关于平面是对称的，如果这个平面把几何体劈成两部分，其中任一部分都是另一部分关于所给镜面映象，此时这个平面被称为物体的对称平面。
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