非同余数和秩零椭圆曲线
2008-11
中国科学技术大学出版社
冯克勤
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大学最重要的功能是向社会输送人才。大学对于一个国家、民族乃至世界的重要性和贡献度，很大程度上是通过毕业生在社会各领域所取得的成就来体现的。 中国科学技术大学建校只有短短的五十年，之所以迅速成为享有较高国际声誉的著名大学之一，主要就是因为她培养出了一大批德才兼备的优秀毕业生。他们志向高远、基础扎实、综合素质高、创新能力强，在国内外科技、经济、教育等领域做出了杰出的贡献，为中国科大赢得了“科技英才的摇篮”的美誉。 2008年9月，胡锦涛总书记为中国科大建校五十周年发来贺信，信中称赞说：半个世纪以来，中国科学技术大学依托中国科学院，按照全院办校、所系结合的方针，弘扬红专并进、理实交融的校风，努力推进教学和科研工作的改革创新，为党和国家培养了一大批科技人才，取得了一系列具有世界先进水平的原创性科技成果，为推动我国科教事业发展和社会主义现代化建设做出了重要贡献。 据统计，中国科大迄今已毕业的5万人中，已有42人当选中国科学院和中国工程院院士，是同期（自1963年以来）毕业生中当选院士数最多的高校之一。其中，本科毕业生中平均每1000人就产生1名院士和七百多名硕士、博士，比例位居全国高校之首。还有众多的中青年才俊成为我国科技、企业、教育等领域的领军人物和骨干。在历年评选的“中国青年五四奖章”获得者中，作为科技界、科技创新型企业界青年才俊代表，科大毕业生已连续多年榜上有名，获奖总人数位居全国高校前列。
正整数n叫作是同余数，是指存在边长均为有理数的直角三角形，其面积为n。决定全部同余数(其他正整数为非同余数)是一个古老的数论问题，它和椭圆曲线En：y2=x3-n2x的有理数解有密切联系：n为同余数当且仅当上述不定方程有无穷多有理数解(即曲线En的有理点群的秩大于零)。利用椭圆曲线算术理论中的2-下降法，可把上述问题转化为局部域上的问题。本书采用代数图论工具，将局部域上的资料表示成有向图形式，给出了椭圆曲线En秩为零的许多系列，从而给出了许多系列的非同余数。关于非同余数的大多数前人结果均可由本书采用的系统方式得出，同时还得到非同余数许多新的系列。
总序前言第1章 同余数n和椭圆曲线E。 1.1 同余数n和方程y2=x3-n2x 1.2 同余数n和椭圆曲线En的秩 1.3 2-下降方法 1.4 同余数和BSD猜想第2章图论知识 2.1 图论的基本术语 2.2 奇性图第3章 非同余数系列(利用y2=x2-n2x) 3.1 非同余数的已知结果 3.2 一个例子 3.3 n≡1(mod 8)情形 3.4 n≡3(rood 8)情形 3.5 n≡2(rood 8)情形第4章 非同余数系列(利用y2=x(x-n)(x-2n) 4.1 n≡3(mod 8)情形 4.2 n≡1(mod 8)情形 4.3 n≡10(mod 16)情形 4.4 n≡2(mod 16)情形第5章 总结与注记 5.1 总结 5.2 关于椭圆曲线En的BSD猜想参考文献
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